1.6. Эллипсоид напряжений

Выразим компоненты напряжений в наклонной площадке формулами (8)

,

Откуда

; ; ,

но

.

Подставляя в последнее уравнение значения а² из предыдущих выражений, имеем

(18)

σ₁, σ₂ и σ₃для каждого данного напряженного состояния являются постоянными. Уравнение (18) является уравнением трехосного эллипсоида, полуоси которого представляют собой главные на­пряжения в данной точке, а координаты точек поверхности – проекции полного напряжения S для различных наклонных площадок. Следовательно, длина любого отрезка от центра до пересечения с поверхностью эллипсоида (радиуса-вектора) представляет собой полное напряжение S в какой-то наклонной пло­щадке. Эллипсоид этот называется эллипсоидом напряжений (эллипсоидом Ламе) и как бы отражает геометрически тензор напряжений.

Поскольку длина радиусов-векторов эллипсоида ограничена длиной его большой полуоси с одной стороны и малой – с другой, постольку полные напряжения S в различных площадках данной точки по абсолютной величине всегда меньше наибольшего (по абсолютной величине) главного напряжения и больше наименьшего.

Если два из трех главных нормальных напряжений равны между собой по абсолютной величине, то эллипсоид напряжений превращается в эллипсоид вращения.

Если все три главных нормальных напряжения равны между собой и одинаковы по знаку, то эллипсоид обращается в шар и любые три взаимно перпендикулярные оси становятся главными. В этом случае во всех наклонных к осям координат пло­щадках действуют одинаковые равные между собой нормальные напряжения, а касательные отсутствуют, поскольку любая плоскость – главная. Иначе говоря, точка находится в состоянии равномерного всестороннего растяжения или сжатия. Тензор напряжений будет

; (19)

этот тензор напряжений носит название шарового тензора. Он инвариантен к выбору системы координат.

Если одно из главных напряжений равно нулю, то эллипсоид превращается в эллипс и объемное напряженное состояние пре­вращается в плоское. Наконец, если два главных напряжения равны нулю, эллипсоид превращается в отрезок прямой линии, что соответствует линейному напряженному состоянию.

1.7. Главные касательные напряжения

Касательные напряжения в наклонных площадках, если тензор напряжений дан в главных компонентах, выражаются уравнением (11)

Выясним, в каких площадках касательные напряжения полу­чают экстремальные значения. Из условия

(а)

имеем, например,

.

Подставляя в выражение (11), получим

.

Дифференцируем по и приравниваем частотную производ­ную нулю для нахождения экстремума:

.

Сокращаем на и выносим за скобки:

Меняем знак, выносим за скобки и и делим на 2:

. (б)

Аналогичным образом дифференцируя уравнение по и приравнивая частную производную нулю, получим

. (в)

Решениями уравнений (б) и (в) прежде всего являются ; . Подставляя в условие (а), найдем и, таким образом, получаем первую группу значений направляющих косинусов, при которых τ имеет экстремум:

; ; .

Далее, приняв из уравнения (в), получим , а при этих значениях и из условия (а) определим соответ­ствующее значение и, следовательно, получим вто­рую группу значений , , , определяющую экстремум для τ:

; ; .

Наконец, подставляя в уравнение (б), получим , а по этим значениям из уравнения (а) определим и в результате найдем третью группу значении , , , при которых τ имеет экстремум:

; ; .

Далее из условия выражаем и подставляем их значения в формулу (11) и производим аналогичные выкладки.

В результате получим следующие шесть групп значений направляющих косинусов, при которых касательные напряжения получают экстремальные значения:

Направляющие косинусы	Группы значений направляющих косинусов
	1	2	3	4	5	6
	0	0	1	0
	0	1	0		0
	1	0	0			0

Первые три группы значений направляющих косинусов определяют координатные плоскости, которые при рассмотрении данного вопроса приняты за главные и в которых касательные напряжения равны нулю. Следовательно, вторые три группы значений определяют плоскости, в которых касательные напряжения достигают максимальных значений (абсолютных), поскольку нахожде­ние экстремальных значений проводилось для по уравнению (11).

Легко видеть, что каждая из этих групп значений выражает плоскости, параллельные одной из координатных плоскостей и составляющие углы 45° с каждой из двух других, или, что то же самое, плоскости, проходящие через одну координатную ось и делящие угол между двумя другими пополам. Таким образом, всего получим (рис. 3) три пары (а, б и в) взаимно перпенди­кулярных площадок, в которых касательные напряжения дости­гают максимальных абсолютных значений. Из шести этих пло­щадок и шести им параллельных можно составить фигуру ром­бического додекаэдра (двенадцатигранника) согласно рис. 4.

Рисунок 3.

Подставляя в уравнение (11) полученные значения направ­ляющих косинусов, найдем значения максимальных касатель­ных напряжений:

(20)

Индексы при τ означают, полуразность каких главных напряжений равна данному τ и к каким осям плоскость действия т наклонена под углом 45° (см. рис. 3). Эти касательные напряжения называют также главными касательными напряжениями.

Таким образом, главные касательные напряжения равны полу разностям соответствующих главных нормальных напряжений.

Рисунок 4.

Наибольшее касательное напряжение равно полуразности алгебраически наибольшего и наименьшего главных нормальных напряжений.

Если все три главные нормальные напряжения равны между собой, то их полуразности и, следовательно, все касательные напряжения обращаются в нуль, т.е. отсутствуют.

Направления главных касательных напряжений на площадках их действия параллельны той главной координатной плоскости, к которой данная площадка является нормальной (рис. 3). Вместе с тем направления главных касательных напряжений (на рис. 4 показаны стрелками) образуют ребра пра­вильного октаэдра с вершинами ABC на главных осях.

Как видно из уравнения (20), сумма трех главных касательных напряжений равна нулю:

. (21)

Из этого уравнения следует, что знак наибольшего по абсолютной величине главного касательного напряжения противоположен знаку двух других.

Это условие необходимо соблюдать при назначении знаков главных касательных напряжений в каждой конкретной задаче.

На гранях додекаэдра (рис. 4), пересекающихся в точке D, т.е. в точке, расположенной в первом октанте, направления, по которым главные касательные напряжения положительны, указаны стрелками.

Определим значение нормальных напряжений в площадках, по которым действуют главные касательные напряжения, для чего подставляем значения направляющих косинусов в уравнение (10):

; ; , (22)

т.е. нормальные напряжения, действующие в площадках главных касательных, равны полусуммам главных нормальных напряжений.

Из выражений (20) главных касательных напряжений также видно, что при увеличении или уменьшении главных нормальных напряжений на одну и ту же величину значения главных касательных напряжений не изменятся, т.е. добавление к напряженному состоянию равномерного растяжения или сжатия не изменяет величины касательных напряжений. Это дает возможность всегда представить тензор напряжений в виде суммы двух тензоров.

Обозначим среднее нормальное напряжение через , тогда

, (23)

т.е. среднее нормальное напряжение равно одной трети первого инварианта тензора напряжений (15).

Составим шаровой тензор (19):

.

Вычтем этот тензор из тензора напряженного состояния точки, что изображается так:

(24)

или

.

Тензор D_σ называется девиатором напряжении. Таким образом, в общем случае тензор напряженного состояния определяется суммой шарового тензора и девиатора напряжений.

Легко видеть, что сумма компонент девиатора напряжений по главной диагонали равна нулю:

.

Напряженное состояние, определяемое шаровым тензором, представляет собой всестороннее равномерное сжатие (о отрицательно) или всестороннее рав­номерное растяжение. Такое напряженное состояние не может вызвать изменения формы тела – возможно лишь изменение объема (при упругой деформации) и разрушение. Если же напряженное состояние, в котором находится какое-либо тело, определяется девиатором, то тело изменяет форму без изменения объема даже при упругом деформировании.