Поток тепла, проходящий через него, в силу закона Фурье равен

где -коэффициент теплопроводности газа, S – поверхность цилиндра радиуса r. Необходимым условием существования теплового равновесия и стационарности процесса является независимость потока тепла от радиуса цилиндра. В самом деле, если бы через цилиндрические поверхности различных радиусов протекалт разные потоки тепла, то это означало бы, что часть тепла «накапливается» в каком-то слое и идет на изменение его температуры, а следовательно, тепловое равновесие нарушилось бы. Таким образом, необходимо

Учитывая это, проинтегрируем уравнение, разделяя переменные

Начальные условия имеют вид

1) при r=R₁ T=T₁

2) при r=R₂ T=T₂

тогда получим

Поток тепла на единицу длины цилиндров

Закон распределения температур между цилиндрами найдем в виде

Таким образом, зависимость температуры Т точки от ее расстояния r до оси цилиндра носит логарифмический характер.

Определим градиент температур в пространстве между цилиндрами

.

Графическое представление распределения температур в газе между цилиндрами приведено на следующем рисунке

2.30. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами одинаковой высоты 20 см заполнено водородом. Диаметр внутреннего цилиндра D₁ = 8 см, диаметр внешнего цилиндра равен D₂ =8,2 см. Внешний цилиндр вращается, совершая 5 об/с. Для того, чтобы внутренний цилиндр оставался неподвижным, к нему нужно приложить момент сил . Пренебрегая краевыми эффектами, найти зависимость скорости слоя газа в пространстве между цилиндрами от расстояния до оси цилиндра и определить коэффициент внутреннего трения водорода.

Решение.

При постоянных внешних условиях (неподвижный внутренний цилиндр и равномерно вращающийся внешний) в пространстве между цилиндрами, в силу наличия сил вязкого трения между слоями газа, устанавливается динамическое равновесие, при котором каждый цилиндрический слой радиуса r равномерно вращается с постоянной скоростью V (r ).

Необходимым условием равномерности вращения слоя радиуса r является равенство нулю алгебраической суммы моментов сил вязкого трения со стороны внутреннего и внешнего слоев газа, прилегающих к данному. Так как очевидно, что эти моменты направлены в разные стороны, то абсолютная величина моментов должна быть одинаковой. Поэтому момент сил трения не будет зависеть от положения слоя, т.е. от расстояния r:

теперь следует определить зависимость силы вязкого трения от расстояния до оси r . Однако легко видеть, что естественное на первый взгляд выражение

где

площадь поверхности цилиндрического слоя, на самом деле в данном случае является неверным. Это становится очевидным, если рассмотреть «освобожденный» внутренний цилиндр, которому предоставлена возможность вращаться. Тогда по истечению времени релаксации и перераспределения скоростей слоев вся система будет равномерно вращаться с некоторой одинаковой и постоянной угловой скоростью . При этом ввиду отсутствия относительного проскальзывания слоев силы вязкого трения будут тождественно равны нулю. С другой стороны при этом и

Это противоречит предыдущему уравнению.

В общем случае сила вязкого трения будет пропорциональна лишь той части градиента скорости, которая связана с проскальзыванием слоев жидкости, т.е. с их различной угловой скоростью.

Таким образом, правильное выражение для силы вязкого трения имеет вид

.

Или с учетом

Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получим

Интегрируя и учитывая заданные граничные условия

получаем распределение угловой и линейной скорости слоев газа между цилиндрами

а также соотношение

из которого получим выражение для внутреннего трения

.

2.31. Коэффициент теплопроводности азота при температуре 0⁰С равен . Определить газокинетический диаметр эффективного сечения молекул при этих условиях.

Решение.

Связь коэффициента теплопроводности с газокинетическими характеристиками в явлениях столкновения выражается следующей формулой

здесь

средняя арифметическая скорость максвелловского распределения,

средняя длина свободного пробега молекул, где n-число молекул в единице объема, d- газокинетический диаметр эффективного сечения молекул, - плотность газа, c_v – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Как видно, диаметр молекул связан с коэффициентом теплопроводности через среднюю длину свободного пробега молекул.

Найдем выражение для d²

Выразим и n через параметры состояния газа

Основное уравнение МКТ дает

Получаем теперь

Окончательно найдем диаметр молекул азота

см.

2.32. Коэффициент диффузии водорода при нормальных условиях равен D =1,31 см²/с. Определить величину коэффициента внутреннего трения водорода при этих условиях.

Решение.

Из сравнения выражений коэффициента диффузии

и коэффициента внутреннего трения

следует

где

и n соответственно плотность газа и число молекул в единице объема при заданных условиях.

Имеем далее

И после подстановки численных значений получаем

.

2.33. Через площадку 100 см² за 10 с вследствие диффузии проходит некоторое количество азота. Градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке S, равен кг/м⁴ . Процесс идет при температуре 27⁰С, средняя длина с свободного пробега молекул азота <l>=10^-5 см, эффективный диаметр его молекул см. Определить величину коэффициента внутреннего трения при этих условиях и количество продиффундировавшего азота за указанное время через площадку S.

Решение.

Из условия задачи можно непосредственно найти коэффициент диффузии D и, зная связь между коэффициентом внутреннего трения и коэффициентом диффузии, определить . Так как градиент плотности за время наблюдения сохраняется постоянным, т.е. процесс диффузии идет достаточно медленно, то диффузию можно считать стационарной и количество продиффундировавшего вещества определить из уравнения

где

Принимая во внимание, что

и определив n из

получим

После подстановки числовых значений получим

.