![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1 Определённый интеграл
- •1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.
- •Площадь криволинейной трапеции.
- •1.2. Понятие определенного интеграла.
- •1.3. Теорема существования определенного интеграла (без доказательства).
- •1.4. Основные свойства определенного интеграла.
- •2.Произвольная от определённого интеграла по переменному верхнему пределу.
- •3. Формула Ньютона-Лейбница.
- •4. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •5. Несобственные интегралы
- •5.2 Несобственные интегралы от разрывных функций
- •5.3Интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим интеграл вида
- •Бета-функция.
- •Приложения определенного интеграла.
- •6. Геометрические приложения определенных интегралов.
- •6.1. Вычисление площадей плоских фигур.
- •6.2. Длина дуги.
- •6.3.Вычисление объёмов тел вращения.
- •6.4. Вычисление объемов тел по известным поперечным сечениям
- •6.5.Площадь поверхности вращения.
- •7. Приложения определенных интегралов к решению задач физики.
- •7.1.Путь пройденный телом
- •7.2.Работа силы
- •7.3. Количество электричества.
- •7.4. Вычисление давления
- •7.5. Кинематическая энергия
- •7.6. Статический момент.
- •7.7.Координаты центра тяжести.
- •8.Тестовые задания для самостоятельной работы.
- •9. Физические задачи для самостоятельной работы
- •10. Приближенные методы вычисления определенных интегралов.
- •450062, Республика Башкортостан, г. Уфа, ул. Космонавтов,1
5.2 Несобственные интегралы от разрывных функций
Рассмотрим теперь
функцию
,
заданную в конечном промежутке, но
имеющая разрыв.
Пусть функция
определена и непрерывна в промежутке
,
а при
функция либо неопределена, либо терпит
разрыв.
В этом случае
нельзя говорить об интеграле
как о пределе интегральных сумм, так
как
не является непрерывной на отрезке
,
и поэтому этот предел может и не
существовать.
Интеграл от функции , разрывной в точке , определяется следующим образом:
(5.2.1)
(где
).
Определение5.2.1:
предел интеграла
при
(конечный
или бесконечный) называется несобственным
интегралом от функции
в пределах от
до
В случае, если этот предел конечен, говорят, что несобственный интеграл сходится, а сам предел называют его значением. Функцию называют интегрируемой в промежутке .
Если же предел бесконечен или вовсе не существует, то говорят, что интеграл расходится, и тогда символу не приписывают никакого значения.
Аналогично можно
ввести понятие несобственного интеграла,
если функция имеет разрыв в точке
:
по определению полагают:
(5.2.2)
Если функция имеет
разрыв внутри отрезка
,
при
,
то
(5.2.3)
(при условии, что оба несобственных интеграла в правой части существуют).
Если же хотя бы
один из интегралов
расходится, то несобственный интеграл
расходится.
Пример 5.2.1:
при
функция
имеет разрыв. Поэтому
Интеграл расходится (рис 5.2.1)
Для определения сходимости несобственного интеграла от разрывных функций и оценки их значений часто могут быть применены теоремы, аналогичны теоремам для оценки интегралов с бесконечными пределами. Теорема5.2.1: (признак сравнения):
если
на отрезке
функции
и
разрывны в точке
,
причем во всех точках этого отрезка
,
то из сходимости интеграла
следует сходимость интеграла
.По
признаку сравнения данный интеграл
расходится.
Теорема5.2.2(призник
сравнения):
если на отрезке
функции
и
разрывны в точке
,
причем во всех точках этого отрезка
,
то из расходимости интеграла
следует расходимость интеграла
.
Теорема5.2.3.:
если
- знакопеременная на отрезке
функция, разрывна только при
,
и несобственный интеграл
от абсолютной величины этой функции
сходится, то сходится также интеграл
от самой функции.
Имеет
место также теорема аналогичная теореме
(*).
5.3Интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим интеграл вида
,
(5.3.1)
где под знак интеграла, помимо переменной интегрирования , входит параметр (произвольная постоянная ), т.е. величина, которая в процессе интегрирования считается постоянной, но вообще может принимать разные значения.
Если параметр
будет меняться, то будет меняться и
значение определенного интеграла
(5.3.1). Таким образом, определенный интеграл
(5.3.1) есть функция от
;
поэтому мы его можем обозначить через
:
(5.3.2)
Такие интегралы часто встречаются в приложениях, когда интегрируемая функция включает в себя какие-либо массы, размеры и т.п., которые в процессе интегрирования являются постоянными.
Замечание5.3.1: мы для простоты будем считать, что подынтегральная функция содержит только один параметр, хотя результаты получаются аналогичными при любом числе параметров.
Пример5.3.1:
.
Рассмотрим некоторые свойства интеграла (5.3.1):
Непрерывность интегралов зависящих от параметра: Если подынтегральная функция
при и
зависит от непрерывно (в интервале
) т.е. функция непрерывна. Доказательство:
это
свойство вытекает , например, из
геометрического смысла интеграла как
площади кривой трапеции: если при
бесконечно малом изменении
криволинейная сторона трапеции изменится
бесконечно мало, то и площадь изменится
бесконечно мало.
Замечание:
при этом функция
не обязана зависеть от
непрерывно; она может иметь конечные
разрывы. Бывает, что и пределы интегрирования
зависят от параметра:
.
Тогда для непрерывности
надо дополнительно потребовать, чтобы
функции
и
не имели разрывов.
ПравилоЛейбница: возможно дифференцирование интеграла (5.3.1) по параметру под знаком интеграла другими словами,
(дело в том, что интеграл (5.3.1) аналогичен сумме весьма большого числа слагаемых, каждое из которых зависит от , а дифференцирование под знаком суммы возможно, так как производная суммы равна сумме производных). Доказательство:
пусть
функция
и её производная
есть непрерывные функции при
и
(5.3.3).
Производная интеграла по
параметру
:
(5.3.4)
для нахождения этой производной
заметим, что, так как
,
то
,
и, следовательно,
.
Составим
отношение
.
к
подынтегральной функции применим
теорему Лагранжа:
,
где
заключено между
и
.
В следствии непрерывности функции
имеем:
;
откуда
,
где
при
(
зависит от
).
Таким
образом,
,
тогда
переходя к пределу, где
получим
;
;
- формула Лейбница
(5.3.5)
Правило Лейбница: производная от интеграла по параметру равна интегралу от производной подынтегральной функции по этому параметру.
Правило Лейбница иногда применяется для отыскания сложных определенных интегралов.
Пример5.3.2:
.
продифференцируем обе части этого равенства по параметру ,
; или
(5.3.6)
Продолжая дифференцирование, сможем вычислить интеграл
для
.
Вычисление их без применения правила Лейбница привело бы к
гораздо более громоздки выкладкам.
Понятие о несобственных интегралах, зависящих от параметра.
Приведенные выше теоремы относятся и к интегралам с конечными пределами и с непрерывной подынтегральной функцией.
Рассмотрим интеграл вида (наиболее часто встречающийся интеграл)
,
(*)
где - непрерывная функция (т.е. интеграл не имеет особенностей при конечных ).
Конечно, прежде всего надо требовать чтобы интеграл сходился.
Однако по сравнению с предыдущим вопросом (см. интеграл (5.3.1) свойство 1)), мы сталкиваемся со следующим новым обстоятельством: даже если функция непрерывно зависит о , зависимость интеграла от может получится разрывной.
Это связано с тем, что бесконечно малое изменение функции на бесконечно большом участке интегрирования может привести к конечному изменению интеграла.
Например5.3.3:
.
Подынтегральная функция
непрерывна при всех значениях
и
;
функция же
имеет бесконечный разрыв при
.
Чтобы установить, при каких условиях теоремы, рассмотренные ранее для несобственных интегралов, останутся справедливыми для несобственных интегралов вида (*), введем следующее определение.
Определение5.3.1:
несобственный интеграл
зависящий от параметра
,
называется правильно сходящимся, если
при рассматриваемых значениях
,
где функция
,
,
и
сходится.
Для правильно сходящихся несобственных интегралов имеют место следующие свойства, которые рассмотрим без доказательства:
Если подынтегральная функция зависит от непрерывно, то и интеграл зависит от непрерывно.
Если функция имеет непрерывную (частную) производную и интеграл от этой производной тоже сходится правильно, то функция дифференцируема и справедлива формула
.
Гамма-функция и функциональное уравнение для неё
В качестве важного примера несобственного интеграла, зависящего от параметра, рассмотрим неэлементарную «гамма функцию», введенную Эйлером в 1729г.
Функция Г, после элементарных, является одной из важнейших функций для анализа и его приложений.
Определение5.3.2:
гамма функцией называется несобственный
интеграл вида:
(5.3.2.1) (1)
(этот
интеграл называется также Эйлеровым
интегралом второго рода).
Интеграл (5.3.1.1)
есть несобственный интеграл с параметром
.
Он является примером интеграла,
первообразная которого не выражается
в виде комбинации элементарных функций.
(интеграл (5.3.1.1) несобственный уже из-за
бесконечного верхнего предела. Если
,
то интеграл (5.3.1.1) имеет особенность и
при
)
Сходится интеграл
(5.3.1.11) при всех положительных значениях
параметра
:
.
(следовательно, формулу (5.3.1.11) надо
рассматривать при
.
Доказательство см. «избранные главы
высшей математики» стр. 92).
Гамма-функция обладает целым рядом замечательных свойств.
Среди свойств гамма - функции особое место занимает формула приведения (которая позволяет обобщить понятие факториала, известное нам из элементарной математики, на дробные и даже комплексные значения аргумента).
Покажем, что
гамма-функция удовлетворяет соотношению
(5.3.2.2)
Для вывода этого основного свойства гамма-функции проведем интегрирование по частям:
.
Что и требовалось доказать.
Легко
подсчитать, далее, что
,
т.е.
.
Теперь подставляя
в формулу (2) последовательно
,
мы получим
;
;
и т.д. вообще
. (5.3.1.3)
Если прочитать эту формулу справа на лево то мы видим, что гамма-функция дает представление факториала. В то же время эта формула имеет смысл и для нецелых значений аргумента.
Из формулы (3) видно,
в частности, что
,
т.е.
.
Замечание
5.3.1.1:
гамма-функция определяется и для
отрицательных значений аргумента.
Пользоваться при этом формулой (5.3.2.1)
нельзя, так как интеграл расходится.
Однако можно применить формулу (5.3.2.2),
переписав её в виде
.
Замечание 5.3.1.2: имеются таблицы значений гамма-функции.