- •1 Определённый интеграл
- •1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.
- •Площадь криволинейной трапеции.
- •1.2. Понятие определенного интеграла.
- •1.3. Теорема существования определенного интеграла (без доказательства).
- •1.4. Основные свойства определенного интеграла.
- •2.Произвольная от определённого интеграла по переменному верхнему пределу.
- •3. Формула Ньютона-Лейбница.
- •4. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •5. Несобственные интегралы
- •5.2 Несобственные интегралы от разрывных функций
- •5.3Интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим интеграл вида
- •Бета-функция.
- •Приложения определенного интеграла.
- •6. Геометрические приложения определенных интегралов.
- •6.1. Вычисление площадей плоских фигур.
- •6.2. Длина дуги.
- •6.3.Вычисление объёмов тел вращения.
- •6.4. Вычисление объемов тел по известным поперечным сечениям
- •6.5.Площадь поверхности вращения.
- •7. Приложения определенных интегралов к решению задач физики.
- •7.1.Путь пройденный телом
- •7.2.Работа силы
- •7.3. Количество электричества.
- •7.4. Вычисление давления
- •7.5. Кинематическая энергия
- •7.6. Статический момент.
- •7.7.Координаты центра тяжести.
- •8.Тестовые задания для самостоятельной работы.
- •9. Физические задачи для самостоятельной работы
- •10. Приближенные методы вычисления определенных интегралов.
- •450062, Республика Башкортостан, г. Уфа, ул. Космонавтов,1
2.Произвольная от определённого интеграла по переменному верхнему пределу.
Пусть функция интегрируема на отрезке , т.е. существует
Из самого определения как предела интегральной суммы следует, что если функция и пределы интегрирования а и b заданы, то интеграл определяется однозначно (есть постоянное число), и значение его не зависит от обозначения переменной интегрирования.
Переменную интегрирования можно обозначить в принципе любой буквой. Тогда справедливы равенства: (2)
Заменив это, рассмотрим определенный интеграл с нижним пределом а и верхним пределом х, где , причем переменную интегрирования мы обозначаем буквой t в отличие от верхнего предела . Каждому значению отрезка соответствует одно определенное число .
Тогда, рассматриваемый интеграл представляет собой на некоторую функцию верхнего предела . Обозначим эту функциючерез : 2’)
Относительно этой функции докажем следующую теорему.
Теорема 2.1: Если -непрерывная на функция и , то имеет место равенство:
(2.1)
Другими словами, производная от интеграла (1) по его переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции при (при условии, что подынтегральная функция непрерывна).
Доказательство:
Придадим аргументу x приращение (так чтобы значение принадлежало ). Тогда новое значение функции (2’) будет: . Или по свойству 1.4.4: . Найдем приращение функции : К этому интегралу применим теорему о среднем значении (свойство 1.4.7):
, где заключено между и .
Найдем . По определению производной, .
Но если , то , поэтому и . В силу непрерывности функции (что дано по условию)
Итак, , что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы следуют такие теоремы:
Теорема 2.2: Если функция непрерывна на , то функция , , является первообразной для функции на этом отрезке.
Выше мы доказали, что , а это и означает, что есть первообразная функция для .
Теорема 2.3: Всякая непрерывная на функция имеет на нем первообразную. (об этом говорилось в разделе «Неопределенные интегралы»)
Доказано, примером первообразной функции для является, как мы только что видели, функция .
Теоремы 1 и 2 имеют важное значение в интегральном исчислении.
3. Формула Ньютона-Лейбница.
(основная формула интегрального исчисления)
Теорема 3,1: Если функция непрерывна на отрезке и есть какая-либо первообразная для на этом отрезке, то справедлива следующая формула:
(*)
Доказательство:
По условию является первообразной для функции на .
(3.1)
Где С – некоторая постоянная. Для отыскания С положим в тождестве (1) . Замечая, что при этом , получим : , откуда , и, след.,
(3.1’)
или , или, изменив обозначение переменной интегрирования с t на x, будем иметь: - Эта формула является основной в интегральном исчислении; её обычно называют формулой Ньютона-Лейбница.
Формула Ньютона-Лейбница выражает следующий весьма важный факт: Определенный интеграл на от непрерывной на этом отрезке функции равен разности значений любой первообразной функции для , вычисленных при верхнем и нижнем пределах b и a интеграла.
Эта формула сводит вычисление определенного интеграла к определению какой-либо первообразной для подынтегральной функции . Тем самым вычисление определенного интеграла от непрерывной функции сводится формулой (*) к вычислению соответствующего неопределенного интеграла
Итак, чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной на функции достаточно:
1). Вычислить неопределенный интеграл от на : , и положив С, например, равным нулю, получить одну из первообразных функций для на .
2). Вычислить и , т.е. значения функции при верхнем пределе и нижнем пределе интеграла, и из первого результата вычесть второй.
Формула Ньютона-Лейбница даёт эффективное и простое средство для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции . Ведь для ряда простых классов таких функций мы умеем выражать первообразную в конечном виде через элементарные функции. В этих случаях определенный интеграл вычисляется непосредственно по основной формуле.
Во всех тех случаях, когда возможно найти для непрерывной функции первообразную, выраженную в конечном виде через элементарные функции, можно без особого труда вычислить определенный интеграл по формуле (*).
Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог получить то значение в математике, какое он имеет в настоящие время. С открытием этой формулы математика получила общий метод для решения различных задач частного вида и поэтому смогла значительно расширить круг приложений определенного интеграла к технике, механике, астрономии и т.д.
Приращение первообразной , полученное ею при переходе аргумента от значения к значению , т.е. разность , часто обозначается так: , где символ называют знаком двойной подстановки, саму операцию вычисления разности называют выполнением двойной подстановки относительно функции (с пределами и ).
Читается символ двойной подстановки следующим образом: “подстановка от до для функции ”
Пользуясь введённым обозначением, формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в следующем виде:
Применим формулу Ньютона-Лейбница к вычислению нескольких определенных интегралов.
Пример 3.1.1: Вычислить
Т.к. есть первообразная функция для непрерывной функции , то по формуле (*) получаем: = .
Пример 3.1.2: Вычислить
Сначала находим соответствующий неопределенный интеграл, а затем применяем формулу (*):
При вычислении определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница надо строго следить за тем, чтобы выполнялись все условия, при которых была выведена эта формула, иначе может получиться неправильный результат.
Применение формулы Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла от непрерывной на функции предполагает выполнение равенства на всем отрезке интегрирования. Отсюда, в частности, следует непрерывность функции на этом отрезке.
Нарушение непрерывности хотя бы в одной точке отрезка (конечно, в этой точке уже не будет иметь смысла равенство ) может привести к ошибочному результату.
* * *
Очевидно, все методы вычисления неопределенных интегралов могут быть непосредственно применены и к вычислению определенных интегралов; при этом сами вычисления во многих случаях значительно упрощаются по сравнению с вычислениями, производными непосредственно (по формуле Ньютона-Лейбница).
Рассмотрим теперь вопрос о применении метода подстановки и метода интегрирования по частям к вычислению определенных интегралов.