9. Физические задачи для самостоятельной работы

1. Квадрат со стороною 8 м вертикально погружен в воду так, что одна из его сторон лежит на поверхности воды. Опре­делить давление воды на весь квадрат и на каждую из частей, на которые он разделяется диагональю.

2. Цилиндрический резервуар с горизонтальной осью, и ра­диусом 3 дм наполовину наполнен ртутью (удельный вес 13,6). Определить давление ртути на каждую из плоских вертикаль­ных стенок резервуара.

3. Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды из котла, имеющего форму полусферы с радиусом 2 м.

4. Цилиндрический сосуд объемом в 0,1 м³ наполнен ат­мосферным воздухом, которые изотермически расширяясь, выталкивает поршень (в пустоту). Найти работу, совершаемую воздухом при увеличении его объема до 0,3; 0,4; 0,5 м⁹. (Атм. давление 10330 кГ/м².)

5. При условиях предыдущей задачи найти работу адиа­батического расширения воздуха.

6. Прямой круглый конус с вертикальной осью погружен в воду так, что его вершина находится на поверхности воды. Определить работу, необходимую для извлечения конуса из воды, если его высота 10 дм, диаметр основания 20 дм, а удельный вес 3.

7. Деревянная прямоугольная балка плавает в воде. Вы­числить работу, необходимую для извлечения балки из воды, если известны ее размеры* а = 6 м, б = 0,3 м,. с=0,2 м и удель­ный вес δ = 0,8.

8. Зная, что растяжение (удлинение) пружины пропорци­онально растягивающей силе, найти работу, затрачиваемую при растяжении пружины на 4 см, если для удлинения ее на 1 см требуется сила 3 кГ.

9. Цилиндрическая цистерна с горизонтальной осью, имеющая высоту Н и радиус основания R, заполнена водой. Определить, за какое время через отверстие в дне пло­щадью S о+юрожнится: 1) верхняя половина, цистерны; 2) нижняя половина цистерны. *

10. Определить количество воды, протекающей за 1 секунду через прямоугольный водослив вертикальной плотины, если его глубина h, а ширина а*.

11. Определить массу прямого круглого конуса, высота которого равна H, а угол между высотой и образующей α, если плотность в каждой точке конуса пропорциональна расстоянию ее от плоскости, проходящей через его вершину параллельно основанию.

12. Найти центр тяжести однородной дуги полуокружности расположенной под осью Ох.

13. Найти центр тяжести однородного полукруга расположенного над осью Ох.

14. Найти центр тяжести однородной фигуры, ограниченном дугой элли пса , и координатными осями, расположенной в первом квадранте.

15. Найти центр тяжести однородной фигуры, ограничен­ной параболами х² = 20у и y² = 20x.

16. Найти центр тяжести однородной дуги астроиды , и , расположенной правее оси Оу.

17. Найти центр тяжести дуги астроиды, расположенной в первом квадранте, если линейная, плотность в каждой ее точке пропорциональна абсциссе точки.

10. Приближенные методы вычисления определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл от непрерывной функции . Если может быть найдена первообразная подынтегральной функции, то по формуле Ньютона—Лейбница и . Если же первообразная не может быть найдена или если функция задана графически или таблично, то для вычисления интеграла прибегают к приближенным форму­лам, точность которых может быть сделана сколь угодно боль­шой.

Приближенные методы вычисления определенного интеграла в большинстве случаев основаны на том, что определенный интеграл

численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , сегментом оси и вертикаль­ными прямыми, проведенными через точки и . Благодаря этому задача о приближенном вычислении интеграла равносильна задаче о приближенном вычислении площади криволинейной тра­пеции.

Идея приближенного вычисления интеграла заключается в том, что кривая заменяется новой, достаточно «близкой» к ней кривой.

Тогда искомая площадь приближенно равна площади криволи­нейной трапеции, ограниченной кривой.

В качестве этой новой ограничивающей кривой выбирают такую, для которой площадь криволинейной трапеции подсчитывается просто. В зависимости от выбора новой кривой мы получим ту или иную приближенную формулу интегрирования.

10.1. Метод прямоугольников. Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Требуется вычислить опре­деленный интеграл

Разделим отрезок точками на равных частей длины

Обозначим далее через значения функ­ции в точках т. е.

Составим суммы:

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для на отрезке и поэтому приближенно выражает интеграл

Это и есть формулы прямоугольников. Из рис.1 ясно, что если — положительная и возрастающая функция, то формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входя­щих» прямоугольников, а формула — площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников.

Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число п (т. е. чем меньше деления

Рис.1

Пример10.1.1. Вычислить приближенно

Решение. Разделим отрезок на 10 равных частей .

Рис.2

Полагая составим таблицу значений подынтегральной функции:

I. По первой формуле прямоугольников получим

По второй формуле прямоугольников получим

Непосредственно из рис.2 следует, что в данном случае первая фор­мула дает значение интеграла с избытком, вторая — с недостатком

10.2. Метод трапеций (Метод хорд). Пусть требуется вычислить определенный интеграл . Разобьем сегмент интегрирования на n равных малых сегментов точками деления: . Кроме того, положим . Длина каждого малого сегмента равна . Через точки деления проведем прямые, параллельные оси . Пусть они пересекают кривую в точках ,

Заменим данную кривую вписанной в нее ломаной , соединив концы смежных ординат прямыми линиями.

Рис.3

Для наглядности предположим, что на сегменте функция . Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху построенной ломаной, даст приближенное значение интеграла .

Эта площадь равна сумме площадей прямолинейных трапеций, ограниченных свер­ху звеньями ломаной. Пло­щадь каждой такой трапеции легко подсчитать. В самом деле, основаниями ее служат ординаты смежных точек де­ления и , а высотой — малый сегмент длина которого .

Поэтому площадь такой трапеции равна ,

где , a

Следовательно, площадь фигуры, ограниченной сверху ломаной

есть

После очевидных преобразований получим

где

Таким образом, имеем приближенную формулу

которая называется формулой трапеций.

Формула трапеций, выведенная в предположении, что остается справедливой для любой функции непрерывной на сегменте .

Ясно, что с возрастанием числа n точек деления точность, даваемая формулой трапеций, возрастает.

При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций обычно поступают следующим образом:

1) вычисляют значения интеграла и при числе точек деле­ния n и 2n;

2) сравнивают результаты вычислений и оставляют все первые совпадающие знаки.

Пример.10.2.1. Вычислить интеграл с помощью формулы трапеций, полагая и .

Решение. Составляем таблицу значений подынтегральной функции при и .

0	0	0,00	0,0000	5	1,0	1,00	0,8415
1	0,2	0,04	0,0400	6	1,2	1,44	0,9915
2	0,4	0,16	0,1543	7	1,4	1.96	0,9249
3	0,6	0,36	0,3523	8	1,6	2,56	0,5487
4	0,8	0,64	0,5972

По формуле при получим

Теперь составим таблицу значении подынтегральной функции при и

0	0	0,00	0,0000	9	0,9	0,81	0,7243
1	0,1	0,01	0,0100	10	1,0	1,00	0,8415
2	0,2	0,04	0,0400	11	1,1	1,21	0,9356
3	0,3	0,09	0,0899	12	1,2	1,44	0,9915
4	0,4	0,16	0,1593	13	1,3	1,69	0,9928
5	0,5	0,25	0,2474	14	1,4	1,96	0,9249
6	0,6	0,36	0,3523	15	1,5	2.25	0,7776
7	0,7	0,49	0,4706	16	1,6	2,56	0,5487
8	0,8	0,64	0,5972

Применяя формулу для случая получим,

Сравнивая результаты обоих вычислений, видим, что после округлений совпа­дают первые два знака. Следовательно, за приближенное значение интеграла можно принять Табличное значение данного интеграла с точностью до 0,00001 равно 0,84528.

10.3. Метод параболических трапеции (метод Симпсона)*. Этот метод приближенного вычисления определенного интеграла основан на замене графика подынтегральной функции не хордами, как в методе трапеций, а дугами парабол, оси которых параллельны оси

Прежде чем излагать этот метод, рассмотрим тот частный случай, когда кривая, ограничивающая данную криволинейную трапецию, является графиком квадратного трехчлена

Имеет место следующая формула:

где ордината кривой в точке (левая ордината); орди­ната кривой в точке (правая ордината); - ордината кривой в средней точке сегмента т.е. в точке

Рис. 4

Рис.5

Вывод этого соотношения сводится к его непосредственной про­верке. Подсчитаем выражение, стоящее в левой части формулы:

Для подсчета выражения, стоящего в правой части формулы , найдем предварительно и

Подставляем найденные значения в правую часть формулы :

Мы видим, что правая и левая части соотношения (73) равны между собой, что и доказывает его справедливость.

Рассмотрим теперь криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой . Через точки

этой кривой, проведем вспомогательную параболу Через три точки всегда можно провести такую параболу и при этом только одну.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной вспомогатель­ной параболой, приближенно равна площади заданной криволиней­ной трапеции:

Так как согласно формуле

то для произвольной функции имеет место следующее приближенное равенство:

Однако, если сегмент достаточно большой, то приближе­ние, даваемое формулой , будет слишком грубым. Поэтому, для

того чтобы получить более точное приближение интеграла

поступим следующим образом: сегмент разобьем на четное число 2 равных малых сегментов длины Пусть

— точки деления. Рассмотрим малые сегменты длины , ,

серединами этих сегментов являются соответственно точки

Разобьем интеграл на сумму нескольких интегралов:

Применим к каждому из интегралов правой части равенства формулу :

где Складывая правые и левые части соотношений , получим

Эта формула носит название формулы параболических трапеций, или формулы Симпсона *.

При вычислении интеграла методом Симпсона поступают так же, как и в методе трапеций:

1) вычисляют значения интеграла и при числе точек деления и ;

2) сравнивают результаты вычислений и оставляют все первые

совпадающие знаки.

Пример.10.3.1 Вычислить с помощью формулы Симпсона при и

Решение. Составим таблицу для и

0	о	0,00	0,0000
1	0,4	0,16	0,1593
2	0,8	0,64	0,5972
3	1,2	1.44	0,9915
4	1,6	2.56	0,5487

По формуле получим

При и , пользуясь таблицей , находим

Сравнивая результаты обоих вычислений, замечаем, что после округления совпадают первые три знака. Поэтому за приближенное значение интеграла принимаем . Напомним, что табличное значение данного интеграла с точностью до 0,00001 равно 0,84528.

Замечание. При одном и том же числе точек деления сег­мента интегрирования метод Симпсона дает обычно более точный результат, чем метод трапеций. Можно показать, что погрешность в методе трапеций обратно пропорциональна квадрату числа точек деления, а в методе Симпсона — обратно пропорциональна четвертой степени числа точек деления.

10.4.Вычислить указанные определенные интегралы одним из следующих методов: а) методом прямоугольников, б) методом трапеции, в) методом Симпсона.

Вариант 1	Вариант 5
Вариант 2	Вариант 6
Вариант 3	Вариант 7

Вариант 4	Вариант 8
Вариант 9	Вариант 15
Вариант 10	Вариант 16
Вариант 11	Вариант 17
Вариант 12	Вариант 18
Вариант 13	Вариант 19
Вариант 14	Вариант 20
Вариант 21	Вариант 23
Вариант 22	Вариант 24

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. -М.:Наука, 1972.

2. Болгов В.А. и др. Сборник задач по математике для Втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа.- М.: Наука, 1981.

3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: ООО «Издательство Астрель» : ООО «Издательство АСТ», 2002. – 992 с. : ил.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер. -М.: Высшая школа, 1998. – 400 с.: ил.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.1 - М.: Высшая школа, 1996.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.2 - М.: Высшая школа, 1996.

7. Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа.- М.: Наука, 1981.

8. Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа.- М.: Наука, 1981.

9. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: Учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений / Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред. Б. П. Демидовича. – М.: ООО «Издательство Астрель» : ООО «Издательство АСТ», 2002. – 495 с.

10. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа : Учеб. для вузов : 4.1. – 5-е изд.- М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 2000. – 616 с.

11. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. - Санкт-Петербург: Лань, 1997.

12. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления,Т.1. - М.:Интеграл – Пресс, 2002.

13. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления,Т.2. - М.:Интеграл – Пресс, 2002.

14. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике.- М.: ВШ., 1994.

15. Шипачев В.С. Курс высшей математики. Учебник /Под редакцией акад. А.Н.Тихонова. – М.: ПБОЮЛ М.А.Захаров, 2002. – 600 с.

16. Шнейдер Н.С. и др. Краткий курс высшей математики, Т.1. - М.: Высшая школа, 1978.

17. Шнейдер Н.С. и др. Краткий курс высшей математики, Т.2. - М.: Высшая школа, 1978.

18.Шулаев Н.С. и др. Сборник заданий по физике и математике для самостоятельной работы студентов: Учеб. пособие /Н.С. Шулаев, Т.В. Григорьева, Г.М. Мифтахова.-Уфа:Изд-во УГНТУ. Ч.2.- 2005г., 178с.

19.Григорьева Т.В., Жигалова О.В., Учебно-методическое пособие по теме «Определенный интеграл» Уфа УГНТУ-2006г.,32с.

20.Седаева Л.С., Жигалова О.В., Учебно-методическое пособие к лабораторной работе по теме: «Приближенные методы вычисления определенных интегралов» Уфа УГНТУ-2002г., 16с.

21. Методические указания над курсом «Высшая математика» для студентов дневного отделения специальности 21.02.17. «Автоматизация технологических процессов и производств». Составители: Григорьева Т.В. доцент кафедры ИМФ, Рахматуллина Ф.Т. ст. преподаватель, Кущевая Е.И., инженер – программист.

22. Методические указания к расчетным заданиям по теме «Определенные интегралы». Составители: Григорьева Т.В., доцент кафедры ИМФ, Ахмерова А.Г., ст. преподаватель, Седаева Л.С., ассистент.

Научное издание

Шулаев Николай Сергеевич

Григорьева Тамара Владимировна

Мифтахова Гульшат Миниахметовна

Определённый интеграл

Издательство Уфимского государственного нефтяного технического университета

Адрес издательства и типографии: