4. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Ранее нами была установлена формула интегрирования по частям для неопределенных интегралов. Аналогичную формулу можно установить и для определенных интегралов. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда справедлива формула: -формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Докажем эту формулу:

Действительно на отрезке имеем; Интегрируем обе части этого тождества в пределах от a до b: ; или ; откуда имеем ; . Что и требовалось доказать.

Доказанная формула сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла , который в ряде случаев может оказаться более простым, чем первоначальный. Практика применения этой формулы почти такая же, что и для соответствующей формулы в теории неопределенных интегралов.

Пример4.1:Вычислить: Часто здесь бывает удобно применить, как и в случае вычисления неопределенного интеграла, замену переменной путем введения вместо старой переменной новой переменной t, связанной со старой соотношением .

Итак, введем новую переменную , положив . Докажем относительно такой замены следующую теорему:

Пусть выполняются следующие условия:

1. Функция определена и непрерывна на отрезке

2. При изменении на значения функции не выходят за пределы отрезка . При этом

3. Функция на отрезке имеет непрерывную производную

Тогда имеет место равенство:

(4.1)

(называемое формулой замены переменной под знаком определенного интеграла)

Доказательство: Пусть -какая-либо первообразная для функции на , так что . Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

(4.2)

Рассмотрим на функцию переменной . Эта функция сложная.

Вычислим её производную по формуле дифференцирования сложной функции:

Отсюда следует, что функция является первообразной для на отрезке . А тогда по формуле Ньютона-Лейбница (которая здесь применима, т.к. функция непрерывна на ) имеем:

но по условию .

Поэтому предыдущее равенство можно переписать и так: . (3)

Сопоставляя равенства (2) и (3), мы и получим доказываемую формулу:

Формула (4.1) сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла .

При пользовании ею следует функцию стараться выбирать так, чтобы новый интеграл был более простым для вычисления, чем первоначальный.

Пределы и нового интеграла определяются из уравнений: каждое из этих уравнений может иметь несколько корней, при этом за можно принять любой корень уравнения , а за -любой корень уравнения , лишь бы выполнялись условия 2) и 3), при которых установлена формула (4.1).

Условие 2) окажется, в частности, наверняка выполненным, если функция будет монотонной на . Поэтому на практике замену переменной часто осуществляют с помощью монотонных функций, тем более что при применении формулы (4.1) оперировать с такими функциями проще, чем с немонотонными.

Если функция не может принимать значений, равных пределам интегрирования и , то она не может служить для выполнения замены переменной в этом интеграле. Так, например, нельзя, очевидно, преобразовать в интеграле подынтегральную функцию с помощью подстановки: .

Отметим одну важную особенность формулы (4.1):

Вычисляя неопределенный интеграл с помощью замены переменной , мы должны были, найдя , ещё вернуться затем к прежней переменной .