2.Произвольная от определённого интеграла по переменному верхнему пределу.

Пусть функция интегрируема на отрезке , т.е. существует

Из самого определения как предела интегральной суммы следует, что если функция и пределы интегрирования а и b заданы, то интеграл определяется однозначно (есть постоянное число), и значение его не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Переменную интегрирования можно обозначить в принципе любой буквой. Тогда справедливы равенства: (2)

Заменив это, рассмотрим определенный интеграл с нижним пределом а и верхним пределом х, где , причем переменную интегрирования мы обозначаем буквой t в отличие от верхнего предела . Каждому значению отрезка соответствует одно определенное число .

Тогда, рассматриваемый интеграл представляет собой на некоторую функцию верхнего предела . Обозначим эту функциючерез : 2’)

Относительно этой функции докажем следующую теорему.

Теорема 2.1: Если -непрерывная на функция и , то имеет место равенство:

(2.1)

Другими словами, производная от интеграла (1) по его переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции при (при условии, что подынтегральная функция непрерывна).

Доказательство:

Придадим аргументу x приращение (так чтобы значение принадлежало ). Тогда новое значение функции (2’) будет: . Или по свойству 1.4.4: . Найдем приращение функции : К этому интегралу применим теорему о среднем значении (свойство 1.4.7):

, где заключено между и .

Найдем . По определению производной, .

Но если , то , поэтому и . В силу непрерывности функции (что дано по условию)

Итак, , что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следуют такие теоремы:

Теорема 2.2: Если функция непрерывна на , то функция , , является первообразной для функции на этом отрезке.

Выше мы доказали, что , а это и означает, что есть первообразная функция для .

Теорема 2.3: Всякая непрерывная на функция имеет на нем первообразную. (об этом говорилось в разделе «Неопределенные интегралы»)

Доказано, примером первообразной функции для является, как мы только что видели, функция .

Теоремы 1 и 2 имеют важное значение в интегральном исчислении.

3. Формула Ньютона-Лейбница.

(основная формула интегрального исчисления)

Теорема 3,1: Если функция непрерывна на отрезке и есть какая-либо первообразная для на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

(*)

Доказательство:

По условию является первообразной для функции на .

(3.1)

Где С – некоторая постоянная. Для отыскания С положим в тождестве (1) . Замечая, что при этом , получим : , откуда , и, след.,

(3.1’)

или , или, изменив обозначение переменной интегрирования с t на x, будем иметь: - Эта формула является основной в интегральном исчислении; её обычно называют формулой Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница выражает следующий весьма важный факт: Определенный интеграл на от непрерывной на этом отрезке функции равен разности значений любой первообразной функции для , вычисленных при верхнем и нижнем пределах b и a интеграла.

Эта формула сводит вычисление определенного интеграла к определению какой-либо первообразной для подынтегральной функции _. Тем самым вычисление определенного интеграла от непрерывной функции сводится формулой (*) к вычислению соответствующего неопределенного интеграла

Итак, чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной на функции достаточно:

1). Вычислить неопределенный интеграл от на : , и положив С, например, равным нулю, получить одну из первообразных функций для на .

2). Вычислить и , т.е. значения функции при верхнем пределе и нижнем пределе интеграла, и из первого результата вычесть второй.

Формула Ньютона-Лейбница даёт эффективное и простое средство для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции . Ведь для ряда простых классов таких функций мы умеем выражать первообразную в конечном виде через элементарные функции. В этих случаях определенный интеграл вычисляется непосредственно по основной формуле.

Во всех тех случаях, когда возможно найти для непрерывной функции первообразную, выраженную в конечном виде через элементарные функции, можно без особого труда вычислить определенный интеграл по формуле (*).

Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог получить то значение в математике, какое он имеет в настоящие время. С открытием этой формулы математика получила общий метод для решения различных задач частного вида и поэтому смогла значительно расширить круг приложений определенного интеграла к технике, механике, астрономии и т.д.

Приращение первообразной , полученное ею при переходе аргумента от значения к значению , т.е. разность , часто обозначается так: , где символ называют знаком двойной подстановки, саму операцию вычисления разности называют выполнением двойной подстановки относительно функции (с пределами и ).

Читается символ двойной подстановки следующим образом: “подстановка от до для функции ”

Пользуясь введённым обозначением, формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в следующем виде:

Применим формулу Ньютона-Лейбница к вычислению нескольких определенных интегралов.

Пример 3.1.1: Вычислить

Т.к. есть первообразная функция для непрерывной функции , то по формуле (*) получаем: = .

Пример 3.1.2: Вычислить

Сначала находим соответствующий неопределенный интеграл, а затем применяем формулу (*):

При вычислении определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница надо строго следить за тем, чтобы выполнялись все условия, при которых была выведена эта формула, иначе может получиться неправильный результат.

Применение формулы Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла от непрерывной на функции предполагает выполнение равенства на всем отрезке интегрирования. Отсюда, в частности, следует непрерывность функции на этом отрезке.

Нарушение непрерывности хотя бы в одной точке отрезка (конечно, в этой точке уже не будет иметь смысла равенство ) может привести к ошибочному результату.

* * *

Очевидно, все методы вычисления неопределенных интегралов могут быть непосредственно применены и к вычислению определенных интегралов; при этом сами вычисления во многих случаях значительно упрощаются по сравнению с вычислениями, производными непосредственно (по формуле Ньютона-Лейбница).

Рассмотрим теперь вопрос о применении метода подстановки и метода интегрирования по частям к вычислению определенных интегралов.