7.5. Вычисления по итерационным формулам

Итерационной называется формула типа y_i+1 = f (y_i) . Пример1. Вычисление задано итерационной формулой y_i+1=(x/y_i² +2y_i)/3

Начальное приближении у₀=1 и значение х= 27.

Составим ЭТ для вычисления:

1. В ячейку a2 запишем значение х равное 27 (рис. 7.9).

2. В ячейку b2 запишем значение у₀ равное 1.

3

Рис. 7.9

. В ячейку b3 запишем формулу = ($A$1/B1^2+2*B1)/3, которую копируем вниз

Пример 2. Заданы итерационные формулы

x _i =2x_i-1 и y_i= x_i-1 + 3y_i-1 при изменении i=2,3,4,5.

При i=2 х₂ = 2х₁ и y₂= x₁ + 3y₁

Начальные значения x₁=1 ; y₁=1 (рис. 7.10) запишем в В2 и С2 соответственно. В ячейки В3 и С3 запишем формулы для х₂ и у₂ . Выделяем В3:С3 и копируем вниз до С6. Результат вычисления на рис. 7.11.

Рис. 7.10

Рис. 7.11

Пример 3.

Решение задач следующего типа:

Даны действительные числа у1, у2,…у5, которые записаны в В2:В6

Составить ЭТ для вычисления

и определения min(z1², z2², …,z5²) при i=1,2,…,5

Рис. 7.12

Глава 8. Обработка статистических данных в Excel

8.1. Некоторые понятия математической статистики

В состав Excel входит Пакет анализа, предназначенный для решения сложных статистических и инженерных задач. Устанавливается пакет командами: Сервис, Надстройки, установить флажок Пакет анализа и ОК. Перед использованием Пакета анализа приведем некоторые понятия математической статистики.

Случайная – это величина, которая может принимать значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин. Случайную величину можно записать так: х_i при i=1,2,…n _; где n – количество наблюдений. Мы будем рассматривать дискретную случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные значения. Характеристикой дискретной случайной величины является Закон распределения, который определяет связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. На практике дискретная случайная величина представляется в табличном виде (табл. 8.1).

Выборка – результат n наблюдений над случайной величиной, представляющей генеральную совокупность N. Например, для генеральной совокупности N=1000 объем выборки может быть равен n=100. Также для выборки при п=32 таблица имеет вид:

Таблица 8.1 — Табличный вид случайной величины

Значения случайной величины	1	4	7	9
Частота повторения	5	9	11	7
Относительные частоты Pi	5/n=0,16	9/n=0,28	11/n=0,34	7/n=0,22

Относительные частоты при большом n, называют статистическими вероятностями р₁, р₂, р₃, р₄ и сумма вероятностей 0,16+0,28+0,34+0,22 = 1 . Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически многоугольником распределения (рис.8.1) или гистограммой (рис. 8.2).

Г

Рис. 8.1

истограмма. Весь диапазон случайной величины разбивают на разряды (карманы – рис.8.2). На каждом из разрядов строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного разряда. Высота прямоугольника равна частоте данного разряда, деленная на длину разряда. В случае равных по длине разрядов высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам. На рис. 8.2 кривой линией представлена интегральная кривая относительных частот. Во многих случаях для статистической обработки достаточно бывает указать только отдельные числовые характеристики случайной величины.

Среднее арифметическое :

Рис. 8.2. Гистограмма

х_ср= (х₁+х₂+…+ х_n)/n =

Дисперсия : D= - мера рассеивания случайной величины около ее среднего арифметического;

Стандартное отклонение: = - или средняя квадратичная ошибка отдельного измерения ;

Стандартная ошибка: или средняя квадратичная ошибка среднего арифметического.

Мода – величина, которая имеет наибольшую частоту. Например, для таблицы 8.1 мода равна 11. Медиана – значение величины, соответствующее середине ранжированной выборки.

Ассиметрия – ассиметрия закона распределения относительно хср .

Эксцесс – величина крутости или плосковершинности закона распределения случайной величины. Нулевой эксцесс имеет закон нормального распределения случайной величины.

Доверительный интервал – называется интервал, в котором с заданной вероятностью (надежностью) попадает среднее значение случайной величины, полученное из n наблюдений.