14. Зонная структура металла, концентрация и подвижность носителей заряда в металле.

Предположим, что на N одинаковых частиц приходится G различных состояний, в которых может находиться отдельная частица. Мерой нахождения частицы в данном состоянии служит отношение N/G. Если N/G<<1, то число вакантных состояний много больше числа частиц. Подобные коллективы называются невырожденными и описываются классической статистикой Максвелла - Больцмана.

Если N/G>>1, то свойства частиц определяют заселённость состояний. Такие коллективы частиц получили название вырожденных. Вырожденные коллективы могут образовываться только квантово-механическими частицами. Действительно, для выполнения последнего условия необходимо, чтобы число возможных состояний частиц (G) было бы во всяком случае конечным. Это может быть в том случае, если параметры состояний частицы изменяются дискретно, т.е. если частица является квантово-механическим объектом.

_м – термодинамический параметр, называемый химическим потенциалом.

Химический потенциал выражает изменение свободной энергии системы при изменении числа частиц на единицу при неизменной температуре и объёме системы, т.е. химический потенциал равен величине свободной энергии (F), приходящейся на одну частицу системы в состоянии равновесия.

Функция распределения Ферми – Дирака определяет среднее число частиц, подчиняющихся принципу Паули, в данном энергетическом состоянии, т.е. она выражает вероятность заполнения данного состояния:

.

(4.12)

Рассмотрим основные свойства функции Ферми – Дирака применительно к электронам в металле. При T = 0 К электроны последовательно занимают все состояния, начиная с наинизшего, соответствующего дну зоны проводимости. Значение функции распределения для всех этих уровней равно единице, при этом последним будет заполнен энергетический уровень, высота которого, отсчитанная от дна зоны проводимости, равна химическому потенциалу E_ф = _ф. Этот энергетический уровень получил название уровня Ферми. С учётом этого функцию распределения Ферми – Дирака можно представить в виде

.

(4.13)

Все энергетические уровни, лежащие выше уровня Ферми, свободны, и для них функция распределения равна нулю (f_ф(E>E_ф)=0). При повышении температуры часть электронов переходит на более высокие энергетические уровни (E>E_ф), в результате чего вероятность заполнения этих уровней увеличивается, а вероятность заполнения энергетических уровней, лежащих ниже уровня Ферми (E<E_ф), уменьшается. Графики функции распределения Ферми – Дирака для различных значений температуры представлены на (рис. 4.3).

Используя выражения (4.10) и (4.13), а также понятие об уровне Ферми, определим концентрацию электронов n(E)dE, имеющих энергию в области от E до E+dE,

(4.14)

Важнейшими свойствами уровня Ферми являются:

1. Вероятность заполнения электроном уровня Ферми при любой температуре равна ½.

2. Уровень Ферми представляет собой химический потенциал электронов данной системы (в расчёте на один электрон). Поэтому условием равновесия двух электронных проводников, которые приведены в контакт (безразлично, металлов или полупроводников), является равенство их уровней Ферми.

   fф T1= 0 1 T1 0,5 T1 E Eф=μф	n (E) g(E) T1<T2<T3 g(E) T1= 0 T2 T3 E Eф=μф
   Рис. 4.3

3. Уровень Ферми определяется из условия, что независимо от распределения по уровням, полное число электронов в кристалле должно оставаться неизменным. Это требование связано с условием электронейтральности системы в целом.

Интегрируя выражение (4.14), получаем общее число частиц в единице объёма системы

,

(4.15)

что приводится к следующему выражению

(4.16)

откуда получаем

(4.17)

где

(4.18)

представляет собой значение уровня Ферми металлов при 0 К.

Значение составляет обычно величину около 5 эВ; поправка в (4.17) во всём температурном интервале не превышает сотых долей процента, поэтому в отличие от полупроводников в металлах уровень Ферми практически не зависит от температуры и определяется выражением (4.18).

Из условия определяем значение Т_ф

,

(4.19)

выше которой выполняется критерий невырожденности электронного газа. Расчёты показывают, что эта температура примерно на два порядка выше температуры плавления металлов, в связи с чем электронный газ в металлах всегда находится в вырожденном состоянии.

Степень вырождения системы элементов определяется их концентрацией и температурой: чем больше концентрация элементов и чем ниже температура, тем сильнее вырождена система электронов. Из (4.25) получаем соотношение между концентрацией электронов и температурой системы

.

(4.26)

Электропроводностью называют явление направленного переноса (движения) свободных носителей заряда под действием электрического поля. Необходимым условием существования электропроводности у кристаллов является наличие в их энергетической диаграмме частично заполненных электронами энергетических зон. Только в этом случае электрическое поле может привести к нарушению чисто беспорядочного движения носителей заряда – электронов и дырок, к наложению на него направленного переноса.

Коэффициент пропорциональности между скоростью дрейфа и напряжённостью электрического поля получил название подвижности носителей

.

(4.32)

Из (4.32) получаем общее выражение для удельной электропроводности проводника

,

(4.33)

Если предположить, что в результате соударения за время τ полностью теряется приобретенная до этого дрейфовая скорость, то среднюю скорость дрейфа электрона можно выразить как

,

(4.35)

где представляет собой ускорение электрона во внешнем электрическом поле ε. Из (4.35) получаем другое выражение для подвижности электронного газа

.

(4.36)

При расчётах обычно вводится средняя длина свободного пробега электрона λ, связанная с τ соотношением

,

(4.37)

где v – средняя скорость движения электронов.

Численная оценка выражений (4.36) и (4.37) показывает, что, например, для меди . Последняя величина намного порядков ниже скорости хаотического движения электронов ( ). В то же время что примерно в 100 раз превышает величину межатомного расстояния в меди.

Для невырожденного газа электроны практически не взаимодействуют друг с другом, вследствие чего при наложении внешнего поля каждый электрон принимает участие в электропроводности. Поэтому в выражения (4.36) и (4.38) должны входить усредненные по всему коллективу характеристики, т.е.

,

(4.39)

Для вырожденного газа возбуждение испытывают только электроны, расположенные вблизи уровня Ферми (фермиевские электроны), поэтому выражения (4.36) и (4.38) приобретают следующий вид:

,

(4.41)

где n – полная концентрация электронов.

Рассмотрим температурные зависимости подвижности носителей, для чего оценим зависимость от температуры средней длины свободного пробега λ и скорости электрона v (выражения (4.39) и (4.41)).

Подвижность носителей заряда определяется их рассеянием. В монокристалле с бездефектной структурой наблюдается рассеяние электронов за счёт взаимодействия с ионами кристаллической решетки, которое тем больше, чем интенсивнее тепловые колебания ионов. Систему колеблющихся ионов кристаллической решетки представляют в виде фононного газа, концентрация фононов в котором определяется выражением

В области высоких температур λ ~ 1/n_ф (n_ф – концентрация фононов); так как из (4.46) следует, что n_ф ~ Т, то λ ~ Т ^-1. Если для невырожденного газа v ~ T ^0,5, то

.

(4.48)

Для вырожденного газа энергия, а следовательно, и скорость фермиевских электронов практически не зависят от температуры, поэтому

.

(4.49)

В области низких температур основное значение имеет рассеяние на ионизированных примесных атомах. Расчёты показывают, что длина свободного пробега электронов пропорциональна v ⁴, поэтому подвижность электронов для невырожденного газа

(4.50)

и для вырожденного газа

.

(4.51)

Если одновременно действуют несколько механизмов рассеяния, то вводят величину ŵ = 1/τ , представляющую собой среднее число столкновений электрона за единицу времени. Полное число столкновений определяется суммой столкновений, обусловленных различными механизмами рассеяния: электрон – фононным ŵ _ф , электрон – примесным ŵ _n , электрон– дефектным ŵ _д и т.д.

ŵ = ŵ ф + ŵ n + ŵ д .

(4.52)

Используя (4.41), получаем

, (4.53)

откуда

,

(4.54)

где u _ф, u _n, u _д – подвижности, обусловленные различными механизмами рассеяния электронов. Из (4.54) видно, что основным в определении подвижности является механизм рассеяния, обусловливающий наиболее низкую подвижность.