3.2. Экономико-математическая модель задачи

в общем виде

Приведем сначала модель задачи оптимизации в общем виде [3]. Она является обобщением известной в теории управления запасами модели Вагнера-Уайтина [4,5].

Пусть некоторое промышленное предприятие производит K видов готовой продукции. Для ее производства требуется R видов материальных ресурсов. Предполагается, что задана матрица технологических коэффициентов , r=1,2,…,R, k=1,2,…,K, где – количество ресурса r-го вида, необходимого для производства единицы готовой продукции k-го вида.

Предприятие закупает все виды материальных ресурсов у R поставщиков (или у снабженческой фирмы). Готовая продукция должна быть доставлена в N пунктов назначения. Горизонт планирования равен T (время измеряется в дискретных единицах, т.е. в сутках, месяцах, кварталах).

Общий размер спроса на готовую продукцию k-го вида в n-м пункте назначения за период T известен и равен . С учетом заданного спроса завод закупает материальные ресурсы и производит продукцию.

Примем следующие предположения:

• рынок материальных ресурсов неограничен;

• все заказы на поставку материалов и получение готовой продукции осуществляются в начале каждого периода (внутри планового периода T). Запасы материалов используются в конце каждого периода;

• время выполнения заказа на поставку очередной партии материалов равно нулю, т.е. заказанная партия поступает сразу после размещения заказа;

• производственное оборудование является абсолютно надежным;

• производительность технологических линий на предприятии ограничена только вместимостью складов для хранения материалов и готовой продукции.

Для построения экономико-математической модели введем следующие обозначения:

• – количество материала r-го вида, заказанного и полученного в периоде t, t=1,2,…,T;

• – количество готовой продукции, которую предприятие планирует выпускать в конце периода t, t=1,2,…,T;

• – количество готовой продукции k-го вида, которое планируется доставить в n-й пункт назначения в конце периода t, t=1,2,…,T;

• – стоимость закупки и доставки единицы материала r-го вида в периоде t, t=1,2,…,T;

• – себестоимость выпуска единицы готовой продукции k-го вида в периоде t, t=1,2,…,T;

• – себестоимость перевозки единицы готовой продукции k-го вида из завода в n-й пункт назначения в периоде t, t=1,2,…,T;

• ( ) – стоимость суточного хранения единицы материала r-го вида (готовой продукции k-го вида) в периоде t, t=1,2,…,T;

• ( ) – вместимость склада для хранения материалов (готовой продукции);

• ( ) – начальный запас материала r-го вида (готовой продукции k-го вида) на складе.

Считается, что

, ;

• ( ) – уровень запаса r-го вида материала (k -го вида готовой продукции) на складе в конце периода t, t=1,2,…,T.

Указанные уровни запасов выражаются через введенные выше параметры управления следующим образом:

,	(2)
.	(3)

Поскольку

, ,

то с учетом (2), (3) отсюда получаем

,	(4)
,	(5)

С другой стороны, в периоде t не может быть потреблено материалов r-го вида и вывезено готовой продукции k -го вида в количествах, больших, чем уровни запасов и соответственно, т.е.

, t=1,2,…,T.

Поэтому с учетом (2), (3) имеем

, t=1,2,…,T.	(6)
	(7)

Наконец, в n-й пункт назначения готовая продукция k -го вида должна быть доставлена в количестве на горизонте планирования, т.е.

.

(8)

Выражение для полных затрат по всей интегрированной логистической цепи доставки имеет следующий вид:

(9)

(мы здесь не учитываем затраты на размещение заказа на поставку материалов).

Оптимизационная задача формулируется следующим образом:

найти неотрицательные значения переменных , , , удовлетворяющие ограничениям (4)-(8) и обеспечивающие минимальное значение функции (9).

Для того, чтобы сформулированная задача линейного программирования была допустимой, необходимо выполнение следующих условий:

С другой стороны, для избежания тривиальных ситуаций необходимо предположить, чтобы

.