ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ” имени В.И. Ульянова (Ленина)»

(СПбГЭТУ)

Кафедра высшей математики

Типовой расчет № 1.3

Вариант 15

Выполнил: студент группы 7811 (А.В. Петровский)

Проверил: (К.Ф. Мус) 

Санкт-Петербург

2007

Задание

Даны точки:

Найти:

1. уравнение плоскости , проходящей через точки,,и плоскости, проходящей через точки,,;

2. уравнение прямой , проходящей через точкии;

3. косинус угла междуии синус угламеждуи, синус угла и углы в радианах;

4. площадь треугольника;

5. точку , симметричнуюотносительно;

6. расстояние отдо: как длина перпендикуляра, издо.

Определения, обозначения, соотношения, используемые в работе

§ 1. Определения свободного и закрепленного геометрических векторов.

 

Определение 1: Закрепленный вектор – отрезок с упорядоченными концами: AB,

A – начало вектора, В – конец вектора, АВ ≠ ВА.

Конец и начало вектора могут совпадать: АА – нулевой вектор.

 

Определение 2: Равенство закрепленных векторов:

Пусть AB и CD – закрепленные ненулевые векторы.

1) Соединим А с С и В с D (начальные и конечные точки векторов).

Если ABDC – параллелограмм, то AB = CD.

2) AB = CD, если закрепленный вектор EF : AB = EF и EF = CD.

3) Все нулевые векторы равны: АА = ВВ.

 

Определение 3: Свободный вектор (или просто вектор) – множество равных между собой (в смысле определения 2) закрепленных векторов.

Свободные векторы обозначаются прописными латинскими буквами – a.

Нулевой свободный вектор обозначается θ.

 

Определение 4: Закрепленный вектор AB является реализацией свободного вектора a, если a = { CD : CD = AB } ( То есть свободный вектор a – это множество закрепленных векторов CD, т.ч. CD = AB. )

Обозначение: AB a (допустимо а = АВ).

Предложение 1. с.в.а и т. О пространства! з.в. ОА : ОАа.

( Т.е. для любого свободного вектора a и для любой точки О пространства существует единственный закреплённый вектор OA, который является реализацией а. )

Определение 5: Длина свободного вектора a – это длина его реализации:

|a| = |AB|, если AB a, |θ| = 0.

 

Определение 6: Угол между свободными векторами а и b – это наименьший угол между их реализациями ОА и ОВ ( ОАа, ОВb ).

 

Определение 7: Свободные векторы a и b равны (a = b), если они совпадают как множества.

Из определения свободного вектора очевидно, что для того, чтобы задать свободный вектор a, достаточно задать какую-либо его реализацию, т.е. закрепленный вектор AB a.

 

Определение 8: V₃ – множество всех свободных векторов в пространстве R³.

§ 2. Операции над свободными векторами: сложение и умножение на число.

 

Определение 9: Сумма свободных векторов.

Пусть a, b V₃. Возьмем произвольно точку О.

Тогда ! ОАa и ! ABb т.ч. OB a+b, т.е. a+b = { CD : CD = OB}

Корректность сложения: OB a+b, O'B' a+b OB = O'B'.

 

Определение 10: Пусть a - свободный вектор, AB – его реализация, тогда BA является реализацией свободного вектора (-a).

(-a) – обратный вектор для a, т.е. (-a) = { BA : AB a }

 

Определение 11: Умножение вектора на число:

1) λ•θ = θ для λR.

2) a ≠ θ, AB a, отрезок AB лежит на прямой l.

2.1) λ = 0 λ∙a = θ.

2.2) λ > 0 ACλ∙a, где AC т.ч. |AC| = λ•|AB|, C l и т. B и C находятся по одну сторону от т. А.

2.3) λ < 0 ADλ∙a, где AD т.ч. |AD| = |λ|∙|AB|, D l и т. B и D находятся по разные стороны от т. А.

Свойства операций над векторами: a, b, c V₃ , λ, μR

1) Коммутативность сложения

a + b = b + a.

2) Ассоциативность сложения

a + b + c = (a + b)+ c = a +( b + c).

3) a + θ = a.

4) a +(-a) = θ.

5) Ассоциативность умножения на число

λ(μ∙ a) = (λμ)∙ a

6) 1∙ a = a.

7) Дистрибутивность умножения на число относительно сложения векторов

λ∙( a + b) = λ∙ a +λ∙ b.

8) Дистрибутивность умножения на число относительно сложения чисел

(λ+μ)∙ a = λ∙ a +μ∙ a.