Конспект по алгебре с матмеха СПбГУ
.pdf
11
KOMPX@TEROW MALO POWLIQLO NA HARAKTER I STILX RABOTY BOLX[INSTWA MATEMATIKOW, NO WOT RASPROSTRANENIE PC IZMENILO IH SAMYM RADIKALXNYM OBRAZOM. eSLI RANX[E MATEMATIKI PROWODILI BOLX[U@ ^ASTX RABO^EGO DNQ LEVA NA DIWANE S LISTKOM BUMAGI, TO TEPERX MATEMATIKA UDAETSQ NABL@DATX GLAWNYM OBRAZOM SIDQ]IM PERED PERED DISPLEEM
eSTX DWA PROGRAMMNYH PRODUKTA ABSOL@TNO NEOBHODIMYH DLQ PROFESSIONALXNOJ RABOTY W OBLASTI MATEMATIKI I EE PRILOVENIJ, SWOBODNOE WLADENIE KOTORYMI STALO de facto TAKOJ VE NEOT_EMLEMOJ ^ASTX@ REMESLA MATEMATIKA (KROME TEH IZBRANNYH S^ASTLIW^IKOW, U KOTORYH ESTX PERSONALXNYE SEKRETAR- [I!), KAK SWOBODNOE WLADENIE ANGLIJSKIM QZYKOM:
²CISTEMY KOMPX@TERNOGO NABORA, W PERWU@ O^EREDX TEX I EGO DIALEKTY (Q SAM PRIWYK POLXZOWATXSQ AMS-TEX’OM9, NO MNOGIE IZ MOIH KOLLEG, KTO W SWOE WRE-
MQ POVALEL POTRATITX MESQC NA ^TENIE KNIGI kNUTA ‘wSE PRO TEX’, WYNUVDENY OGRANI^ITXSQ LaTEX’OM10).
²CISTEMY KOMPX@TERNOJ ALGEBRY, KAK SPECIALIZIROWANNYE (GAP, CoCoA,
SINGULAR, : : : ), TAK I, W PERWU@ O^EREDX, general purpose (AXIOM, Mathematica, Maple)11.
nASTOQ]AQ KNIGA POLNOSTX@ NABRANA W AMS-TEX’E, A WSE PRIMERY W NEJ WY-
^ISLENY W Mathematica12.
lITERATURA
nIVE UPOMINA@TSQ TOLXKO TEKSTY OB]EGO HARAKTERA NA RUSSKOM QZYKE. dOPOLNITELXNAQ LITERATURA PO OTDELXNYM GLAWAM BUDET UKAZANA W SOOTWETSTWU- @]IH MESTAH KURSA.
rEKOMENDOWANNYE U^EBNIKI:
1.|.b.wINBERG, kURS ALGEBRY, m, 1999, 527S.
2.a.i.kOSTRIKIN, wWEDENIE W ALGEBRU, ^.I: oSNOWY ALGEBRY, 1994, 318S.; ^.II: lINEJNAQ ALGEBRA, ^.III oSNOWNYE STRUKTURY ALGEBRY (LIBO a.i.kOSTRIKIN, wWEDENIE W ALGEBRU, m., 1977, 495S.)
3.a.i.kOSTRIKIN, `.i.mANIN, lINEJNAQ ALGEBRA I GEOMETRIQ, 2E IZD., 1986, 303S.
4.d.k.fADDEEW, lEKCII PO ALGEBRE, 1984, 416S.
u^EBNIKI PONIVENNOGO TIPA:
4.z.i.bOREWI^, oPREDELITELI I MATRICY, 1977.
5.l.q.kULIKOW, aLGEBRA I TEORIQ ^ISEL, m., 1977, 559S@
6.a.g.kURO[, kURS WYS[EJ ALGEBRY, 1975.
9~ITAETSQ ‘AMSTEH’.
10~ITAETSQ ‘LATEKS’.
11kROME TOGO, IMEETSQ OGROMNOE KOLI^ESTWO ^ISTO U^EBNYH SISTEM TAKIH, KAK Derive, MuPAD, MathCAD I SISTEM INVENERNYH RAS^ETOW TAKIH, KAK MathLab, S PROSTYM ILI UDOBNYM INTERFEJSOM, KOTORYE W SILU SLABOSTI QDRA NEPRIGODNY DLQ SERXEZNYH NAU^NYH WY^ISLENIJ.
12pRI \TOM ISPOLXZOWALSQ KOMPX@TER S PROCESSOROM AMD Athlon 1333 ?? I 512 Mb OPERA-
TIWNOJ PAMQTI. mNOGO^ISLENNYE TESTY POKAZYWA@T, ^TO W BOLX[INSTWE PODOBNYH WY^ISLENIJ SKOROSTX OGRANI^IWAETSQ RAZMEROM I BYSTRODEJSTWIEM PAMQTI, A NE TAKTOWOJ ^ASTOTOJ
12
7. a.i.mALXCEW, oSNOWY LINEJNOJ ALGEBRY, m., 1977.
(I MNOVESTWO DRUGIH, W OSOBENNOSTI PO LINEJNOJ ALGEBRE). u^EBNIKI POWY[ENNOGO TIPA:
8.l.aJERL\ND, m.rOUZEN, kLASSI^ESKOE WWEDENIE W SOWREMENNU@ TEORI@ ^ISEL, 1987, 415S.
9.`.a.bAHTURIN, oSNOWNYE STRUKTURY SOWREMENNOJ ALGEBRY, 1990, 318S.
10.z.i.bOREWI^, i.r.{AFAREWI^, tEORIQ ^ISEL, 3E IZD., 1985, 503S.
11.n.bURBAKI, aLGEBRA, gL.1–3. aLGEBRAI^ESKIE STRUKTURY, LINEJNAQ I POLILINEJNAQ ALGEBRA, 1962, 516S.
12.n.bURBAKI, aLGEBRA, gL.4–6. mNOGO^LENY I POLQ, UPORQDO^ENNYE GRUP-
PY, 1965, 300S.
13.n.bURBAKI, aLGEBRA, gL.7–9. mODULI, KOLXCA, FORMY. 1966, 555S.
14.b.WAN DER wARDEN, aLGEBRA, 1976, 648S.
15.s.lENG, aLGEBRA, 1968, 564S.
16.k.fEJS, aLGEBRA: KOLXCA, MODULI, KATEGORII. t.1., 1977, 676S.
17.i.r.{AFAREWI^, oSNOWNYE PONQTIQ ALGEBRY, (aLGEBRA – III) winiti: fUNDAMENTALXNYE NAPRAWLENIQ, T.11, 1988, 292S.
u^EBNIKI NA ANGLIJSKOM:
!!! M.Artin, Algebra. – Prentice Hall, Englewood Cli s N.J., 1991.
S.Warner, Modern algebra. – Prentice Hall, Englewood Cli s N.J., v.I, 1965, 457p., v.II – (wOT PO^EMU lENG PEDALIRUET OTSUTSTWIE \PITETA ‘modern’!!)
Hu Sze-Tsen, Elements of modern algebra. – Holden Day, San Francisco et al., 1965, 208p.
J.L.Kelley, Algebra, a modern introduction. – Van Nostrand, Princeton N.J. et al., 1965, 335p.
R.E. Johnson, University algebra. – Prentice Hall, Englewood Cli s N.J., 1966, 271p.
!!!S.Perlis, Introduction to algebra, – Blaisdell Publ., Waltham, Mass. et al., 1966, 440p.
M.Marcus, H.Minc, Modern University algebra, MacMillan, N.Y. et al., 1966, 244p.
R.A.Dean, Elementa of abstract algebra, N.Y. Wiley, 1966. R.Godement, Algebra, Houghton-Mi n, Boston, 1968.
L.J.Goldstein, Abstract algebra, Prentice Hall, Englewood Cli s N.J., 1973. I.N.Herstein, Topics in algebra, Blaisdell Publ., Waltham, Mass. et al., 1964. S.Lang, Algebraic structures, Addison-Wesley, Reading, Mass. et al., 1967.
!!!W.A.Adkins, S.H.Weintraub, Algebra: an approach via module theory, – GTM, Springer, Berlin et al., 1992, 526p.
Quotation from Adkins, Weintraub: “The typical theorem in Mathematics states that something you do not understand is equal to something else you cannot compute.”
!!!T.W.Hungerford, Algebra, – GTM, v.73, Springer, Berlin et al., 1974, 502p. P.M.Cohn, Algebra, 2nd ed., J.Wiley, vol.I – 1982, vol.II – 1989, vol.III – 1991. N.Jacobson, Basic algebra. – W.H.Freeman, N.Y., vol.I – 1985, vol.II – 1989.
L.Euler, Elements of algebra, translated by Rev. J.Hewlett, – Springer Reprint,
Berlin et al., 1972, 593p.
13
G.Birkho , T.C.Bartee, Modern applied algebra, McGraw-Hill, N.Y., 1969 – russkij perewod!!
J.L.Fisher, Application oriented algebra, Crowell, N.Y., 1977.
A.Gill, Applied algebra for computer scientists, Prentice Hall, Englewood Cli s N.J., 1976.
!!! J.D.Lipton, Elements of algebra and algebraic computing, Addison-Wesley, Reading, Mass. et al., 1981, 342p.
kolxca
T.Y.Lam, A first course in non-commutative rings, 2nd ed., Springer, Berlin et al., 2001, 385p.
T.Y.Lam, Lectures on modules and rings, Springer, Berlin et al., 1999, 557p.
oSNOWNYE OBOZNA^ENIQ
lOGI^ESKIE SIMWOLY
1. lOGI^ESKIE SWQZKI. mY BUDEM POLXZOWATXSQ OBY^NYMI SIMWOLAMI IS- ^ISLENIQ WYSKAZYWANIJ:
_ – DIZ_@NKCIQ13 (‘ILI’, ‘or’, ‘vel’);
^ (A TAKVE &) – KON_@NKCIQ14 (‘I’, ‘and’, ‘et’); : – NEGACIQ (alias OTRICANIE, ‘NE’, ‘not’, ‘non’);
=) – IMPLIKACIQ (‘TOGDA’, ‘ESLI : : : , TO : : : ’, ‘IZ : : : SLEDUET : : : ’, ‘: : : WLE^ET
: : : );
() – \KWIWALENCIQ (A TAKVE LOGI^ESKAQ \KWIWALENTNOSTX, ‘TOGDA I TOLXKO TOGDA’, ‘if and only if’, ‘se e solo se’).
2. kWANTORY. eDINSTWENNYMI DRUGIMI SISTEMATI^ESKI ISPOLXZUEMYMI NAMI LOGI^ESKIMI SIMWOLAMI BUDUT KWANTORY – TRI OBY^NYH KWANTORA:
8 – KWANTOR WSEOB]NOSTI15 (‘for All’, ‘DLQ WSEH’);
9 – KWANTOR SU[ESTWOWANIQ16 (‘Exists’, ‘SU]ESTWUET’);
9! – ‘SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ’.
sU]ESTWUET MNOGO DRUGIH ^REZWY^AJNO POLEZNYH KWANTOROW (‘SU]ESTWUET NE BOLEE KONE^NOGO ^ISLA’, ‘SU]ESTWUET BESKONE^NOE MNOVESTWO’, ‘DLQ WSEH, KROME KONE^NOGO ^ISLA’, I T.D.), NO, K SOVALENI@, ONI NE IME@T OB]EPRINQTYH OBOZNA^ENIJ.
3. zNA^ENIQ ISTINNOSTI. w DALXNEJ[EM True I False OBOZNA^A@T, SOOTWETSTWENNO, ISTINU I LOVX17. nEKOTORYE AWTORY ISPOLXZU@T NE SAMI \TI SLOWA,
13sIMWOL ‘_’ PREDSTAWLQET SOBOJ STILIZOWANNU@ BUKWU ‘V’ – PERWU@ BUKWU SLOWA vel – ILI. 14sIMWOL ‘^’ PREDSTAWLQET SOBOJ PEREWERNUTYJ SIMWOL ‘_’, I EGO ISPOLXZOWANIE UKAZYWAET NA DWOJSTWENNOSTX MEVDU ^ I _. w SWO@ O^EREDX, AMPERS\ND ‘ & ’ QWLQETSQ SOKRA]ENIEM
LATINSKOGO ‘et’, ISPOLXZOWAW[IMSQ W RUKOPISNYH TEKSTAH NA^INAQ SO SREDNIH WEKOW.
15sIMWOL ‘8’ PREDSTAWLQET SOBOJ PEREWERNUTU@ BUKWU ‘A’ – PERWU@ BUKWU SLOWA Allgemeinheit – OB]NOSTX, WSEOB]NOSTX.
16sIMWOL ‘9’ PREDSTAWLQET SOBOJ PEREWERNUTU@ BUKWU ‘E’ – PERWU@ BUKWU SLOWA Existenz
– SU]ESTWOWANIE.
17pONQTIQ true/vero I false/falso OTNOSQTSQ K ISTINNOSTI WYSKAZYWANIJ W FORMALXNOJ SISTEME I NE IME@T NIKAKOGO OTNO[ENIQ K PONQTIQM right/giusto I wrong/sbagliato, OCENIWA- @]IMI PRAWILXNOSTX NA[IH IDEJ! pRAWILXNOE WYSKAZYWANIE MOVET BYTX LOVNYM I, TEM
14
A LI[X IH PERWYE BUKWY: T (trivial) I F (falsch), ILI PERWYE BUKWY SOOTWETSTWU@]IH LATINSKIH/ITALXQNSKIH SLOW V (vero) I F (falso) ILI PRIPISYWA@T ISTINE BULEWO ZNA^ENIE 1, A LVI – ZNA^ENIE 0. oDNAKO BOLX[AQ ^ASTX NA[IH WYSKAZYWANIJ W MATEMATIKE NOSIT USLOWNYJ HARAKTER. pO\TOMU MATEMATIKAM (W OTLI^IE OT LOGIKOW!) NASTOLXKO REDKO PRIHODITSQ OBRA]ATXSQ K ABSOL@TNOJ ISTINE I LVI SAMIM PO SEBE, ^TO POLU^A@]AQSQ PRI ISPOLXZOWANII SOKRA]ENIJ \KONOMIQ BUMAGI NE OPRAWDYWAET POTERI QSNOSTI.
|LEMENTY I PODMNOVESTWA
nAPOMNIM OSNOWNYE SIMWOLY, KASA@]IESQ \LEMENTOW I PODMNOVESTW.
2 – ZNAK PRINADLEVNOSTI18, a 2 A, ‘a PRINADLEVIT A’, ‘a QWLQETSQ \LEMENTOM
A’;
3 – TO VE, A 3 a, ‘A SODERVIT a W KA^ESTWE \LEMENTA’;
µ – ZNAK WKL@^ENIQ, A µ B, ‘A QWLQETSQ PODMNOVESTWOM B’;
¶ – TO VE, B ¶ A, ‘B QWLQETSQ NADMNOVESTWOM A’, ‘B SODERVIT A W KA^ESTWE PODMNOVESTWA’;
½ – ZNAK STROGOGO WKL@^ENIQ, A ½ B, ‘A QWLQETSQ SOBSTWENNYM PODMNOVESTWOM B’, T.E. A µ B I A =6 B;
¾ – TO VE, B ¾ A, ‘B QWLQETSQ SOBSTWENNYM NADMNOVESTWOM A’, ‘B SOBSTWENNO SODERVIT A’;
; – PUSTOE MNOVESTWO, T.E. MNOVESTWO, NE SODERVA]EE NI ODNOGO \LEMENTA19. dLQ OTRICANIQ PRINADLEVNOSTI ILI WKL@^ENIQ \TI SIMWOLY PERE^ERKIWA- @TSQ. nAPRIMER, a 2= A OZNA^AET, ^TO a NE QWLQETSQ \LEMENTOM MNOVESTWA A. dWA MNOVESTWA RAWNY, A = B, ESLI ONI SODERVAT ODNI I TE VE \LEMENTY, T.E.
ESLI A µ B I B µ A (AKSIOMA \KSTENSIONALXNOSTI).
kOLLEKTIWIZACIQ
l@BAQ KONE^NAQ SOWOKUPNOSTX OB_EKTOW QWLQETSQ MNOVESTWOM. w TO VE WREMQ, OTN@DX NE L@BAQ BESKONE^NAQ SOWOKUPNOSTX OB_EKTOW MOVET RASSMATRIWATXSQ KAK MNOVESTWO. nEKOTORYE SOWOKUPNOSTI, NAZYWAEMYE KLASSAMI, SLI[KOM WELIKI, ^TOBY BYTX MNOVESTWAMI. k KLASSAM NELXZQ PRIMENQTX BOLX[INSTWO OBY^NYH TEORETIKO-MNOVESTWENNYH KONSTRUKCIJ. ~EREZ fa; b; c; : : : g OBOZNA^A- ETSQ KLASS S \LEMENTAMI a, b, c, : : : . bOLX[AQ ^ASTX TAK NAZYWAEMYH ‘DOKAZATELXSTW’ (I MNOGIE UTWERVDENIQ!) W \LEMENTARNYH U^EBNIKAH MATEMATI^ESKOGO ANALIZA PRQMO O[IBO^NY, POTOMU, ^TO IH AWTORY S^ITA@T, ^TO NAPISAW fa; b; c; : : : ; g ONI OPREDELILI \TIM NEKOTOROE MNOVESTWO.
~ASTO PODMNOVESTWA DANNOGO MNOVESTWA WYDELQ@TSQ PRI POMO]I PREDIKATOW (alias ‘USLOWIJ’ ILI ‘SWOJSTW’). pUSTX P KAKOJ-TO PREDIKAT, WYRAVA@]IJ SWOJSTWO \LEMENTOW: P (x), ESLI x OBLADAET TREBUEMYM SWOJSTWOM I :P (x), W PROTIWNOM SLU^AE. pREDPOLOVIM, ^TO A QWLQETSQ MNOVESTWOM. tOGDA
18|TOT ZNAK, WWEDENNYJ pEANO, QWLQETSQ STILIZOWANNOJ BUKWOJ ², PERWOJ BUKWOJ GRE^ESKOGO SLOWA ²¾¿¶ – BYTX.
19|TOT ZNAK, WWEDENNYJ a. wEJLEM, PREDSTAWLQET SOBOJ STILIZOWANNU@ DATSKU@/NORWEVSKU@ BUKWU Ø (^ITAETSQ ¨o). w NEKOTORYH STARYH KNIGAH DLQ OBOZNA^ENIQ PUSTOGO MNOVESTWA ISPOLXZUETSQ SIMWOL Λ, ODNAKO SEGODNQ Λ ISPOLXZUETSQ DLQ OBOZNA^ENIQ PUSTOGO MASSIWA
15
fx 2 A j P (x)g OBOZNA^AET MNOVESTWO TEH \LEMENTOW IZ A, KOTORYE OBLADA@T SWOJSTWOM P . nAPRIMER, N = fn 2 Z j n > 0g ESTX MNOVESTWO NATURALXNYH ^ISEL, A 2Z = fn 2 Z j 2jng ESTX MNOVESTWO WSEH ^ETNYH CELYH ^ISEL.
nEKOTORYE BESPRINCIPNYE AWTORY ISPOLXZU@T OBOZNA^ENIE fx j P (x)g. oDNAKO SLEDUET IMETX W WIDU, ^TO \TO OBOZNA^ENIE OTNOSITSQ K OBLASTI VURNALIZMA, A NE MATEMATIKI I NE IMEET SMYSLA, DO TEH POR, POKA NE DOKAZANO, ^TO PREDIKAT P QWLQETSQ KOLLEKTIWIZIRU@]IM, T.E. DEJSTWITELXNO OPREDELQET NEKOTOROE MNOVESTWO. nAPRIMER, PREDIKAT P (x) = (x 2 A _ x 2 B) QWLQETSQ KOLLEKTIWIZIRU@]IM PO AKSIOME ZF4, A PREDIKAT P (x) = (x µ A) QWLQETSQ KOLLEKTIWIZIRU@]IM PO AKSIOME ZF7, PO\TOMU fx j x 2 A_x 2 Bg I fx j x µ Ag OPREDELQ@T MNOVESTWA. w TO VE WREMQ IZWESTNYE PARADOKSY kANTORA I rASSELA UTWERVDA@T, ^TO fx j Trueg I fx j x 2= xg NE OPREDELQ@T MNOVESTW – INYMI SLOWAMI, PREDIKATY P (x) = True I P (x) = (x 2= x) NE QWLQ@TSQ KOLLEKTIWIZIRU@]IMI. w TO VE WREMQ, fx j Falseg I fx j x 2 xg OPREDELQ@T PUSTOE MNOVESTWO (PO AKSIOME ZF9). nA^INA@]EMU, POKA ON NE PRIOBRETET POLNOGO AWTOMATIZMA W OPREDELENII TOGO, KAKIE SWOJSTWA QWLQ@TSQ KOLLEKTIWIZIRU- @]IMI, A KAKIE NET, SLEDUET WOOB]E IZBEGATX ZAPISX fx j P (x)g.
gRUPPIROWKA I SKOBKI
sLEDUET OTLI^ATX FIGURNYE SKOBKI f; g (braces) OT KRUGLYH SKOBOK (; ) (parenthesis), KWADRATNYH SKOBOK [; ] (brackets), LOMANYH SKOBOK h; i (angle brackets)
I DRUGIH WIDOW SKOBOK, DWOJNYH SKOBOK, I T.D., KOTORYE ISPOLXZU@TSQ W NESKOLXKIH SOWER[ENNO RAZLI^NYH SMYSLAH, OPREDELQEMYH IZ KONTEKSTA.
kRUGLYE SKOBKI ISPOLXZU@TSQ W PERWU@ O^EREDX DLQ GRUPPIROWKI, T.E. DLQ OBOZNA^ENIQ POSLEDOWATELXNOSTI WYPOLNENIQ ALGEBRAI^ESKIH OPERACIJ: (x + y)+z = x+(y+z). w OTLI^IE OT [KOLXNOJ ALGEBRY, MY NIKOGDA NE ISPOLXZUEM DLQ GRUPPIROWKI KWADRATNYE I FIGURNYE SKOBKI. dLQ LU^[EJ ^ITAEMOSTI
FORMUL ISPOLXZU@TSQ KRUGLYE SKOBKI RAZNYH KEGLEJ: (; ); ¡; ¢; ³; ´; : : : .
dRUGOJ WAVNEJ[EJ FUNKCIEJ KRUGLYH SKOBOK QWLQETSQ OBOZNA^ENIE MASSIWOW. tAK, NAPRIMER, (a; b; c) OBOZNA^AET UPORQDO^ENNU@ TROJKU, S KOMPONENTAMI a; b; c. nAPOMNIM, ^TO, W OTLI^IE OT MNOVESTW, PORQDOK I KRATNOSTX KOMPONENT MASSIWA SU]ESTWENNY! tAK, (a; b; c) 6= (c; a; b) I (a; a; b) 6= (a; b), W TO WREMQ, KAK fa; b; cg = fc; a; bg I fa; a; bg = fa; bg. kROME TOGO, W ALGEBRE [IROKO ISPOLXZUETSQ PONQTIE NABORA20, PROMEVUTO^NOE MEVDU MNOVESTWOM I MASSIWOM: W NABORE SU]ESTWENNY KRATNOSTI KOMPONENT, NO NE IH PORQDOK. nABORY OBY^NO OBOZNA^A@TSQ KWADRATNYMI SKOBKAMI, TAKIM OBRAZOM [a; a; b] 6= [a; b; b],
NO [a; a; b] = [b; a; a].
kROME TOGO, KRUGLYE SKOBKI INOGDA/OBYKNOWENNO/WSEGDA ISPOLXZU@TSQ DLQ WYRAVENIQ MNOGIH DRUGIH PONQTIJ, W ^ASTNOSTI, DLQ OBOZNA^ENIQ
²ARGUMENTA/OW OTOBRAVENIQ: f(x), f(x; y),
²PRISOEDINENIQ RACIONALXNYH PEREMENNYH: K(x; y),
²IDEALA KOMMUTATIWNOGO KOLXCA21: (x1; : : : ; xm),
²SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ: (u; v),
20sPECIALISTY PO KOMBINATORIKE OBY^NO GOWORQT O MULXTIMNOVESTWAH.
21
16
²ANTIKOMMUTATORA22: (x; y) = (xy + yx)=2,
²INTERWALA ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA:
(x; y) = fz 2 X j x < z < yg;
²NAIBOLX[EGO OB]EGO DELITELQ23: (m; n). kWADRATNYE SKOBKI PEREDA@T, W ^ASTNOSTI,
²PRISOEDINENIQ POLINOMIALXNYH PEREMENNYH: K[x; y],
²MULXTIPLIKATIWNYJ/GRUPPOWOJ KOMMUTATOR: [x; y] = xyx¡1y¡1,
²SKOBKU lI ILI ADDITIWNYJ/KOLXCEWOJ KOMMUTATOR: [x; y] = xy ¡ yx,
² OTREZOK ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA: [x; y] = fz 2 X j x · z · yg,
²NAIMENX[EGO OB]EGO KRATNOGO24: [m; n],
²CELU@ ^ASTX ^ISLA25: [x].
lOMANYE SKOBKI PEREDA@T, W ^ASTNOSTI,
²ZNA^ENIE SPARIWANIQ: hx; yi ILI hxjyi,
²LINEJNU@ OBOLO^KU WEKTOROW: hu1; : : : ; uni,
²PODGRUPPU, POROVDENNU@ SISTEMOJ \LEMENTOW: hu1; : : : ; uni.
²PRISOEDINENIE NEKOMMUTIRU@]IH PEREMENNYH: Khx; yi,
bULEWY OPERACII
mY PREDPOLAGAEM TAKVE ZNAKOMSTWO SO SLEDU@]IMI OSNOWNYMI OPERACIQMI NAD MNOVESTWAMI (NAZYWAEMYMI W DALXNEJ[EM BULEWYMI OPERACIQMI). oPREDELENIQ I SWOJSTWA \TIH OPERACIJ KRATKO NAPOMINA@TSQ W x 3.
[ – OB_EDINENIE, A [ B = fx j x 2 A _ x 2 Bg – MNOVESTWO \LEMENTOW PRINADLEVA]IH PO KRAJNEJ MERE ODNOMU IZ MNOVESTW A ILI B.
\ – PERESE^ENIE, A \ B = fx j x 2 A & x 2 Bg – MNOVESTWO \LEMENTOW PRINADLEVA]IH OBOIM MNOVESTWAM A I B.
n – RAZNOSTX, A n B = fx j x 2 A & x 2= Bg — MNOVESTWO \LEMENTOW PRINADLEVA]IH A, NO NE B. eSLI A ¶ B, NAZYWAETSQ TAKVE DOPOLNENIEM K
B W A.
4 – SIMMETRI^ESKAQ RAZNOSTX, A 4 B = (A [ B) n (B \ A) – MNOVESTWO \LEMENTOW PRINADLEVA]IH ROWNO ODNOMU IZ MNOVESTW A ILI B. lEGKO WIDETX,
^TO A 4 B = (A n B) [ (B n A).
w DEJSTWITELXNOSTI MOVNO OPREDELITX OB_EDINENIE, PERESE^ENIE I SIMMETRI^ESKU@ RAZNOSTX L@BOGO (NE OBQZATELXNO KONE^NOGO) SEMEJSTWA MNOVESTW. pUSTX Ω = fAi; i 2 Ig ESTX NEKOTOROE SEMEJSTWO MNOVESTW, GDE I - MNOVESTWO INDEKSOW. tOGDA [Ai, i 2 I, OBOZNA^AET OBXEDINENIE SEMEJSTWA Ω, I T.D.
dWA MNOVESTWA A I B NAZYWA@TSQ DIZ_@NKTNYMI (alias NEPERESEKA@- ]IMISQ), ESLI \B = ;. w \TOM SLU^AE IH OB_EDINENIE OBOZNA^AETSQ TAKVE
A `B I NAZYWAETSQ KOPROIZWEDENIEM, (PRQMOJ) SUMMOJ ILI SWOBODNYM OB_EDINENIEM.
22w NASTOQ]EJ KNIGE MY ISPOLXZUEM OBOZNA^ENIE x ± y.
23w NASTOQ]EJ KNIGE MY ISPOLXZUEM OBOZNA^ENIE gcd(m; n). 24w NASTOQ]EJ KNIGE MY ISPOLXZUEM OBOZNA^ENIE lcm(m; n).
25|TO OBOZNA^ENIE SLEDUET PRIZNATX USTAREW[IM, W SOWREMENNYH TEKSTAH ISPOLXZUETSQ
17
pUSTX TEPERX A I B – L@BYE MNOVESTWA. tOGDA MNOVESTWA UPORQDO^ENNYH PAR A0 = f(x; 1) j x 2 Ag I B0 = f(y; 2) j y 2 Bg DIZ_@NKTNY. oB_EDINENIE
A0 [ B0 PO-PREVNEMU NAZYWAETSQ SWOBODNYM OB_EDINENIEM (alias KOPRO-
IZWEDENIEM, ...) MNOVESTW A I B I OBOZNA^AETSQ A `B. |TA KONSTRUKCIQ LEGKO OBOB]AETSQ NA SLU^AJ L@BOGO SEMEJSTWA Ω = fAi; i 2 Ig, W \TOM SLU^AE KOPROIZWEDENIE OBOZNA^AETSQ OBY^NO `Ai, i 2 I.
~ISLOWYE SISTEMY
dLQ OBOZNA^ENIQ ^ISLOWYH SISTEM BUDET ISPOLXZOWATXSQ [RIFT Bbb (‘Blackboard bold’). sLEDU@]IE TRI ^ISLOWYE SISTEMY BUDUT PREDPOLAGATXSQ IZWESTNYMI:
N = f1; 2; 3; : : : g – NATURALXNYE ^ISLA (0 NE NATURALXNOE ^ISLO!); Z = f0; §1; §2; : : : g – CELYE ^ISLA;
Q = fm=n j m; n 2 Z; n =6 0g – RACIONALXNYE ^ISLA;
mY BUDEM ISPOLXZOWATX TAKVE SLEDU@]IE SWQZANNYE S NIMI ^ISLOWYE SISTEMY:
N0 = N [ f0g – NATURALXNYE ^ISLA I 0;
n = f1; : : : ; ng – NA^ALXNYJ OTREZOK NATURALXNOGO RQDA DLINY n; R – WE]ESTWENNYE (alias DEJSTWITELXNYE) ^ISLA.
(a; b) = fx 2 R j a < x < bg – INTERWAL W R, SOSTOQ]IJ IZ ^ISEL, LEVA]IH STROGO MEVDU a; b 2 R (PRI \TOM DOPUSKAETSQ a = ¡1 I/ILI b = +1);
[a; b] = fx 2 R j a · x · bg – OTREZOK W R, SOSTOQ]IJ IZ ^ISEL, LEVA]IH MEVDU a; b 2 R;
R+ = R>0 = (0; +1) – POLOVITELXNYE WE]ESTWENNYE ^ISLA.
w NA[EM KURSE MY OPREDELIM WAVNEJ[IE ^ISLOWYE SISTEMY NE RASSMATRIWAW[IESQ W [KOLE:
A – CELYE ALGEBRAI^ESKIE ^ISLA; Q – ALGEBRAI^ESKIE ^ISLA;
C – KOMPLEKSNYE ^ISLA;
T = R=Z – KOMPLEKSNYE ^ISLA MODULQ 1 (alias ‘EDINI^NAQ OKRUVNOSTX’); H – KLASSI^ESKIE (alias GAMILXTONOWY) KWATERNIONY;
O – OKTAWY k\LI;
Z=mZ – KOLXCO KLASSOW WY^ETOW PO MODUL@ m; Fq - KONE^NOE POLE IZ q \LEMENTOW;
I NEKOTORYE DRUGIE.