§4. Смешанное произведение векторов.

Определение 4: Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов a, b и c называется число <a, b, c>, т.ч. <a,b,c>=([a,b],c).

Утверждение 3: <a,b,c>=V_a_,_b_,_c, если a,b,c – правая тройка, или <a,b,c>= -V_a_,_b_,_c, если a,b,c – левая тройка. Здесь V_a_,_b_,_c– объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c. (Если a, b и c компланарны, то V_a_,_b_,_c=0.)

Утверждение 4: В декартовой системе координат, если a={x₁, y₁, z₁}, b={x₂, y₂, z₂},

с={x₃, y₃, z₃}, => <a,b,c>=.

Каноническое уравнение плоскости ~ Канонические и параметрические уравнения прямой ~ Расстояние от точки до плоскости ~ Координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении

§ 1. Каноническое уравнение плоскости в пространстве

Пусть в декартовой системе координат дан вектор n={A,B,C} и точка М₀=(x₀,y₀,z₀).

Построим плоскость Π, проходящую через т. М₀, перпендикулярную вектору n (этот вектор называют нормальным вектором или нормалью плоскости).

Утверждение 1: М Π М₀М n.

М₀М={x-x₀, y-y₀, z-z₀} n A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0. (*)

(См. свойства скалярного произведения)

Каноническое уравнение плоскости в пространстве:

Аx+By+Cz+D=0, где D = -Ax₀-By₀-Cz₀.

Замечание 1: формула (*) используется при непосредственном решении задач, после упрощения получается искомое каноническое уравнение плоскости.

§ 2. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве

Пусть в декартовой системе координат дан вектор a={p,q,r} и точка М₀=(x₀,y₀,z₀).

Построим прямую l, проходящую через т. М₀, параллельную вектору a (этот вектор называют направляющим вектором прямой).

Утверждение 2: Мl  М₀М || a.

М₀М={x-x₀, y-y₀, z-z₀} || a  tR, т.ч. М₀М=t·a =>

Параметрические уравнения прямой в пространстве:

(**)

Вы никогда не сталкивались с параметрическим заданием кривых? Поясним на примере: представьте себе, что по заранее намеченному маршруту с известной скоростью движется турист (автомобиль, самолёт, подводная лодка, как Вам больше понравится). Тогда, зная точку начала его путешествия, мы в любой момент времени знаем, где он находится. Таким образом, его положение на маршруте определяется всего одним параметром – временем.

В нашем случае турист движется по бесконечной прямой в пространстве, в момент времени t₀=0 он находится в точке М₀, в любой другой момент времени t его координаты в пространстве вычисляются по формулам (**).

Теперь несколько преобразуем формулы (**).

Выразим из каждой строчки параметр t:

Канонические уравнения прямой в пространстве:

Замечание 2: Эта компактная запись на самом деле содержит три уравнения.

Замечание 3: Это формальная запись и выражение вида в данном случае допустимо.

Замечание 4: Надо понимать, что для уравнения плоскости (прямой) играет роль именно направление перпендикулярного (направляющего) вектора, а не он сам. Т.о. вполне допустимо из каких-либо соображений заменять данный (или полученный в ходе решения) вектор на пропорциональный ему. Целесообразно также упрощать полученное уравнение, деля все его коэффициенты на общий множитель.