Задание

1. Численно решить задачу Коши для линейного (2.3) и нелинейного (2.4) осциллятора. Варьируемые параметры: x(t=0) , y(t=0), . Построить фазовые портреты.

2. Численно решить задачу Коши для брюсселятора (2.5). Варьируемые параметры: u₁(t=0) , u₂(t=0), . Построить фазовые портреты.

3. Численно решить задачу Коши для модели Вольтера (2.6) и (2.7). Варьируемые параметры: x(t=0) , y(t=0),B. Построить фазовые портреты.

Рекомендации. Для численного решения применить схему Рунге-Кутта 4-го порядка точности.

3. Уравнение переноса

В физике под термином перенос понимают необратимые процессы, в результате которых в физической системе происходит пространственное перемещение (перенос) массы, импульса, энергии, заряда или какой-либо другой физической величины. Следует понимать, что с места на место переходят частицы, которые и переносят свои физические характеристики: массу, импульс, энергию, заряд и т.д. К явлениям переноса относятся диффузия – перенос массы; теплопроводность – перенос энергии; вязкость – перенос импульса частиц среды.

Линейное одномерное уравнение переноса (или уравнение адвекции) – простейшее дифференциальное уравнение в частных производных – записывается в виде

(3.1)

Для численного решения уравнения переноса можно использовать явную разностную схему:

,	(3.2)

которая определена шаблоном рис. 3.1. Символом с «крышкой» в формуле (3.2) и ниже обозначаем значение сеточной функции на верхнем временном слое.

Рис. 3.1. Шаблон явной схемы	Рис. 3.2. Решение уравнения переноса

Как несложно убедиться, эта схема является устойчивой при числе Куранта K меньшем единицы

.

(3.3)

Уравнение переноса (при нулевом источнике, определяемом его правой частью) и постоянной скорости переноса с имеет решение в виде начального профиля , перемещающегося вдоль оси х со скоростью с. Результаты расчета по схеме (3.2) показаны на_; рис. 3.2. Начальный профиль изображен сплошной кривой, а решение в различные моменты времени – пунктиром.

Рис.3.3 Решение уравнения переноса с поглощением

Уравнение переноса описывает множество явлений: перемещение примеси в атмосфере под действием ветра (тогда - это концентрация примеси, а - скорость ветра) или движение автомобилей по шоссе (тогда - это поток машин в некоторой точке шоссе, а - средняя скорость этого потока). Вообще говоря, скорость переноса может зависеть как от координат, так и от самой неизвестной функции . В последнем случае уравнение становится нелинейным и имеет ряд новых интересных свойств (см. ниже).

Важный для дальнейших сведений случай связан с наличием ненулевого источника, зависящего от u в простейшем варианте, линейно:

.

(3.4)

Поскольку источник отрицателен, то уравнение (3.1) описывает перенос с поглощением. Коэффициент поглощения равен В. Решение по той же схеме (3.2) показано на рис. 3.3. Оно описывается перемещающимся (со скоростью ) профилем начального возмущения, который, по мере распространения затухает вследствие поглощения.

Пример 1. Нелинейный перенос

Рассмотрим уравнение переноса, скорость которого C линейно зависит от неизвестной функции u(x,t):

.

(3.5)

Его решение посредством схемы (3.2) показано на рис. 3.4-3.5 для различных сочетаний коэффициентов и .

Благодаря нелинейности, профиль решения изменяется с течением времени. Если , то передний фронт решения становится более крутым (рис.3.5). Так происходит потому, что (при фиксированном t¹) участки решения U(x,t¹), где оно велико, обгоняют участки с меньшим U(x,t'). В результате возникает разрывное решение типа ударной волны. Если , то разрыв формируется

Рис. 3.4. Решение нелинейного уравнения переноса	Рис. 3.5. Решение нелинейного уравнения переноса

на заднем фронте решения (рис. 3.5). На самом деле, разрывного решения (рис. 3.4, 3.5) при расчетах по явной схеме (3.2) получить не удается, поскольку эта схема обладает свойством аппроксимационной вязкости и диссипативности, что приводит к «размытию» разрыва и уменьшению амплитуды фронта. Для исследования разрывных решений применяются специальные схемы. Отметим также, что более подробный анализ многих примеров, связанных с уравнением переноса, и соответствующих свойств разностных схем Вы найдете в прекрасной книге Н.Н. Калиткина [1].

Пример 2. Уравнение Бюргерса

Усложним уравнение переноса, добавив в него диффузионное слагаемое:

.

(3.6)

Это уравнение при называют уравнением Бюргерса. Физически оно является хорошей моделью «автомобильной пробки».

Рис. 3.6. Решение уравнения Бюргерса	Рис. 3.7. Решение уравнения Бюргерса

Решение (3.6) при помощи комбинированной явной схемы, полученной объединением формул (3.4) и (34), показано на рис. 3.6 - 3.7. На рис. 3.6 приведен случай слабой, а на рис. 3.7 - сильной диффузии. В первом случае слагаемое, ответственное за нелинейный перенос приводит к образованию разрывных решений, а во втором, благодаря диффузии, разрыва не происходит, и фронт решения размывается.