Задание

1. Исследуйте движение заряженной частицы массы т и заряда q (электрона) в однородных скрещенных полях: магнитном и электрическом. Магнитное поле В направлено по оси Z: В = (0,0, В). Электрическое поле Е — по оси Y: Е = (0, Е, 0). Частица влетает, имея начальную скорость и . Запишите уравнение движения заряженной частицы в обезразмеренной форме. Характерное время движения — 1/. Найдите аналитическое решение. Численно решите систему обезразмеренных уравнений, используя метод Рунге-Кутта.

Рассмотрите частные случаи:

• Е = 0; изменяя магнитное поле В, выясните, как изменяется траектория частицы.

• В = 0; изменяя электрическое поле Е, выясните, как изменяется траектория частицы.

• Е 0; В0. Нарисуйте траекторию частицы.

2. Варьируя величину начальной скорости, выясните, как изменяется траектория движения частицы.

3. Определите скорость дрейфа частицы. Сравните численные решения с аналитическими. Качественно объясните результаты. Нарисуйте траектории частицы у(х).

Рекомендации. При решении задачи сначала используйте следующие значения полей и начальной скорости электрона: В = 2 Тл (в дальнейшем исследовании характера движения электрона эта величина не должна превышать 3 Тл), E = 5 10⁴ В/м, v₀ = 7 10⁴ м/с.

2.Фазовые портреты динамических систем

Динамическими системами (ДС) принято называть класс задач, связанных с определением временной зависимости некоторого параметра, в частности, представленных задачами Коши для дифференциальных уравнений (обыкновенных - иначе ОДУ, или в частных производных) или систем таких уравнений. В данной работе рассматриваются исключительно динамические системы, описываемые ОДУ, принимая во внимание, что теория ДС и специфические численные методы наиболее развита для этих, более простых, уравнений.

Напомним, что задача Коши для системы ОДУ   состоит в отыскании неизвестной векторной функции , включающей несколько (L) неизвестных функций , для начального условия . Соответственно числу компонент векторной функции , должно быть поставлено L начальных условий. Исходя из физического смысла такой постановки задачи, можно, не теряя общности, полагать, что дифференциальные уравнения содержат производные по аргументу t, являющемуся временем, и, соответственно, описывают динамику во времени различных физических параметров. Поэтому задачи Коши для таких моделей называют динамическими системами, а для их изучения центральным моментом является анализ фазовых портретов, т. е. решений, получающихся при выборе всевозможных начальных условий.  Решения обыкновенных дифференциальных уравнений часто удобнее изображать не в привычном виде (см. рис.1), а в фазовом пространстве, по осям которого откладываются значения каждой из найденных функций. При этом аргумент t входит в графики лишь параметрически. В случае двух ОДУ такой график – фазовый портрет системы – является кривой на фазовой плоскости и поэтому особенно нагляден. В общем случае, если система состоит из N ОДУ, то фазовое пространство является N-мерным. При N>3 наглядность теряется, и для визуализации фазового портрета приходится строить его различные проекции.

Пример 1 Осциллятор

(2.1)

Модель (2.1) описывает малые колебания маятника. В данном случае х является углом его отклонения от вертикали. Заменим дифференциальное уравнение второго порядка эквивалентной системой первого порядка. Для этого введем дополнительную неизвестную функцию y(t):

(2.2)

Характерный вид решения системы (2.2) на фазовой плоскости (для трех различных пар начальных условий) показан на рис.2.1.

Рис 2.1. Фазовый портрет гармонического осциллятора

Динамика осциллятора с затуханием  описывается следующей системой уравнений

(2.3)

и независимо от начальных условий (х₀, у₀), приходит в состояние равновесия, точку (0,0) с нулевым углом отклонения и нулевой скоростью (рис. 2.2).

Рис 2.2. Фазовый портрет гармони-ческого осциллятора с затуханием	Рис 2.3. Фазовый портрет негармонического осциллятора

Слегка усложним нашу модельную задачу, рассматривая не малые колебания, а колебания произвольной амплитуды. Для этого следует в правой части вместо простого линейного слагаемого х взять более точное значение возвращающей силы: sin(x):

(2.4)

Если численно решить исходное (нелинейное) уравнение, то колебания будут иметь немного другую (несинусоидальную форму). На рис.2.3 приведен пример компьютерных расчетов для случая отсутствия затухания. Как Вы видите, особая точка (0,0) является центром, а колебания являются негрубыми (т.е. существенно зависящими от начальных условий). График решения на фазовой плоскости не является эллипсом (что говорит о нелинейности осциллятора). Чем меньше мы будем выбирать амплитуду колебаний (т.е. начальные условия), тем меньше будет проявляться нелинейность (поэтому-то малые колебания маятника можно считать гармоническими). Примеры решения (2.4) показаны на рис. 2.3 для случай =0 (пунктир) и ≠0 (сплошная кривая).

Пример 2. Классическая модель брюсселятора

Эта модель описывает некоторую автокаталитическую химическую реакцию, в которой определенную роль играет диффузия. Модель была предложена в 1968 г. Лефевром и Пригожиным [3].

(2.5)

Неизвестные функции отражают динамику концентрации промежуточных продуктов химической реакции. Параметр модели  имеет смысл исходной концентрации катализатора (третьего вещества). Рис. 2.4 и 2.5 представляют два графика фазового портрета, рассчитанных для разных значений параметра .

Более детально, эволюцию фазового портрета брюсселятора можно наблюдать, проводя расчеты с различным параметром . При его увеличении узел будет сначала постепенно смещаться в точку с координатами (1, ), пока не достигнет бифуркационного значения =2. В этой точке происходит качественная перестройка портрета, выражающаяся в рождении предельного цикла. При дальнейшем увеличении  происходит лишь количественное изменение параметров этого цикла.

Рис. 2.4. Фазовый портрет Брюс-селятора при  =0.5 (узел).	Рис. 2.5. Фазовый портрет Брюс-селятора при  =2.5 (предельный цикл).

Пример 3. Модель Вольтера «хищник-жертва»

Модель взаимодействия "хищник-жертва" независимо предложили в 1925-1927 гг. Лотка и Вольтерра. Два дифференциальных уравнения

(2.6)

моделируют временную динамику численности двух биологических популяций жертвы и хищника . Предполагается, что жертвы размножаются с постоянной скоростью A₁, а их численность убывает вследствие поедания хищниками. Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной количеству пищи (с коэффициентом A₁₂) и умирают естественным образом (смертность определяется константой D₂). Модель замечательна тем, что в такой системе наблюдаются циклическое увеличение и уменьшение численности и хищника, и жертвы, так часто наблюдаемое в природе. Фазовый портрет системы представляет собой концентрические замкнутые кривые, окружающие одну стационарную точку, называемую центром. Как видно, модельные колебания численности обеих популяций существенно зависят от начальных условий - после каждого периода колебаний система возвращается в ту же точку. Динамические системы с таким поведением называют негрубыми.

Несложно убедиться, решая (2.6) при различных начальных условиях, фазовый портрет этой системы (рис. 2.7) представляет собой концентрические замкнутые кривые, окружающие одну стационарную точку типа центр. Как видно, модельные колебания численности обеих популяций существенно зависят от начальных условий - после каждого периода колебаний система возвращается в ту же точку.

Рис 2.7. Фазовый портрет системы хищник-жертва	Рис 2.8. Фазовый портрет системы хищник-жертва с конкуренцией

Пример 4 Модель «хищник-жертва» с конкуренцией среди жертв

Поскольку считается, что негрубые модели экологически не адекватны, т.к. амплитуды их циклов определяются начальными условиями, то возникло стремление подправить модель «хищник-жертва» так, чтобы «негрубость» ушла, а колебания остались.

Одна из таких попыток сводится к добавке в уравнение для жертвы в формуле (2.6) внутривидовую конкуренцию в виде отрицательного квадратичного слагаемого (-Вх² ).

(2.7)

Фазовый портрет системы (2.7), изображенный на рис.2.8, имеет одну стационарную точку (аттрактор), на которую «накручивается» решение. В теории динамических систем аттрактор такого типа называется фокусом.

К сожалению, попытка введения в модель «хищник-жертва» конкурентной борьбы среди жертв приводит к колебаниям, но, увы, быстро затухающим, что в реальных биологических сообществах не наблюдается (на рис. 2.8 приведен случай малого параметра конкуренции В, который все равно приводит к затуханию колебаний численности и установлению устойчивого стационарного решения).