Zmienna losowa I jej rozkład, parametry rozkładu zmiennej losowej

1. Zmienna losowa.

Z poprzednich wykładów znamy już pojęcia zdarzenia losowego oraz prawdopodobieństwa. Omówimy tu pojęcie zmiennej losowej, które odgrywa podstawową rolę we wnioskowaniu statystycznym. Wprowadzimy przed tym pojęcie zdarzenia elementarnego, któremu przyporządkowane jest określone prawdopodobieństwo. Na przykład, w rzucie monetą zdarzeniem elementarnym będzie wyrzucenie orła lub reszki, a w rzucie kostką, zdarzeniem elementarnym będzie wyrzucenie jednego z 6 liczb, a każdemu takiemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowane jest prawdopodobieństwo. Przypuśćmy, że na zbiór zdarzeń elementarnych składa się z m zdarzeń, a odpowiadające im prawdopodobieństwa wynoszą:

E1	E2	…	….	Em
P(E1)	P(E2)	…	….	P(Em)

W zastosowaniach wygodniej jest przyporządkować poszczególnym zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. Dlatego możemy sformułować następująco pojęcie zmiennej losowej:

Przyporządkowanie każdemu z możliwych zdarzeń elementarnych

określonej liczby rzeczywistej, nazywamy zmienną losową.

Tak więc, przyporządkowanie wartości liczbowych wynikom doświadczenia losowego nazywamy zmienną losową.

Formalna definicja zmiennej losowej brzmi następująco:

• Zmienna losowa jest funkcją o wartościach rzeczywistych określona na zbiorze zdarzeń elementarnych

Rozróżniamy zmienne losowe skokowe lub dyskretne oraz zmienne losowe ciągłe.

Zmienna losowa skokowa

Zmienne losowe skokowe lub dyskretne przyjmują skończoną lub, co najwyżej przeliczalną liczbę wartości.

Zmienna losowa ciągła

Zmienna losowa ciągła jest to zmienna przyjmująca wszystkie wartości z pewnego przedziału, tzn. że jeśli x₁ , x₂ są dwiema wartościami zmiennej losowej ciągłej, to może ona przyjmować także dowolną wartość między zmiennymi x₁ i x₂.

2. Rozkład zmiennej losowej

   1. Rozkład zmiennej losowej skokowej

Przyporządkowanie wszystkim wartościom skokowej zmiennej losowej prawdopodobieństw ich realizacji, które sumują się do jedności, określa rozkład tej zmiennej losowej. Przyporządkowanie to nazywamy funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej. Oznaczając przez x_i (i= 1, 2, …, k) możliwe wartości zmiennej skokowej X, jej funkcję prawdopodobieństwa zapiszemy formalnie jako:

Funkcję prawdopodobieństwa przy skończonej liczbie wartości zmiennej można określić za pomocą zestawienia lub tablicy:

xi	x2	……	….	xk
p1	p2	……	….	pk

Istnieją zmienne, dla których funkcję prawdopodobieństwa można określić za pomocą wzoru analitycznego. Dotyczy to na przykład tzw. rozkładu dwumianowego, który omówimy dalej.

Dystrybuanta

Rozkład zmiennej losowej X można także określić za pomocą funkcji zwanej dystrybuantą, i oznaczamy jako F(x), którą definiuje się następująco:

. (1)