Задания для решения на практическом занятии

1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

а) , б) , в) , г) , д)  , е) , ж) , з) , и)  , к) , л) .

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию:

а) , ; б) , ;

в)  , ; г)* , ;

д) , ; е) , ; ж) , .

Задания для самостоятельной работы

1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

а) , б) , в) , г) , д) ,

е)  , ж) , з) .

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию:

а) , ; б) , ; в) , ; г)  , .

Тема 20. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 1. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка называют дифференциальное уравнение вида

, (20.1)

где функции и определены и непрерывны на некотором интервале , .

Определение 2. Линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка называют дифференциальное уравнение вида

. (20.2)

Определение 3. Если в дифференциальном уравнении (20.1) , то уравнение вида (20.2) называют линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка, соответствующим неоднородному линейному дифференциальному уравнению (20.1).

Замечание. Линейные дифференциальные уравнения (20.1) и (20.2) удовлетворяют теореме существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка

1. Функция всегда является решением линейного однородного дифференциального равнения первого порядка.

2. Если функции и являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка, то функции и также являются его решениями.

3. Если функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка, а – любое число, отличное от нуля, то функция также является его решением.

4. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (20.2) имеет вид , где – произвольная постоянная.

Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка

Теорема 1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (20.1) можно представить в виде суммы общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (20.2) и некоторого частного решения неоднородного уравнения (20.1): .

Теорема 2 (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной). Общее решение дифференциального уравнения (20.1) имеет вид

. (20.3)

Замечание. Формула (20.3) полностью соответствует теореме 2, так как если раскрыть скобки, то второе слагаемое представляет собой общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (20.2), а первое –некоторое частное решение дифференциального уравнения (20.1).

Алгоритм метода Лагранжа вариации произвольной постоянной

1) Выписать линейное однородное дифференциальное уравнение (20.2), соответствующее уравнению (20.1).

2) Так как уравнение (20.2) является также и дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, то найти его общее решение .

3) Общее решение дифференциального уравнения (20.1) следует искать в виде

, (20.4)

то есть функцию нужно подобрать так, чтобы функция (20.4) удовлетворяла уравнению (20.1). Для этого нужно подставить функцию (20.4) и ее первую производную в уравнение (20.1). После приведения подобных слагаемых получится дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для определения .

4) Решить дифференциальное уравнение относительно функции .

5) Подставить найденную функцию в (20.4). Записать ответ.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным, , .

1) Соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение имеет вид . Перепишем его следующим образом: .

2) Разделяя переменные и интегрируя, получаем , ( ), ( ). Добавляя к решению ( ) решение , получающееся при , получаем общее решение линейного однородного уравнения .

3) Общее решение линейного неоднородного уравнения будем искать в виде . Для того, чтобы найти функцию , подставим и  в исходное уравнение . Тогда

или .

4) Так как , то .

5) Подставим в , получим или – общее решение исходного неоднородного уравнения.

Алгоритм метода Бернулли решения линейного неоднородного уравнения первого порядка

1) Общее решение уравнения (20.1) следует искать в виде , где и – некоторые, пока неизвестные функции. Тогда .

2) Подставить и в дифференциальное уравнение (20.1), тогда . После группировки слагаемых относительно (или ), получится дифференциальное уравнение

. (20.5)

3) Функцию требуется подобрать так, чтобы второе слагаемое обратилось в нуль. Отсюда для определения функции получается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (если слагаемые группировались относительно функции , то должно получиться аналогичное уравнение для определения функции ).

4) Решить уравнение , найти функцию (достаточно найти хотя бы одно ненулевое частное решение).

5) Подставить функцию в уравнение (20.5). Получится дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для определения функции .

6) Найти общее решение дифференциального уравнения .

7) Записать общее решение дифференциального уравнения (20.1) в виде . Записать ответ.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным, , .

1) Общее решение будем искать в виде , где и – некоторые, пока неизвестные функции. Тогда .

2) Подставим и в исходное дифференциальное уравнение, тогда . Перегруппируем слагаемые относительно , получим дифференциальное уравнение .

3) Функцию подберем так, чтобы второе слагаемое обратилось в нуль. Отсюда для определения функции получается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными .

4) Решим дифференциальное уравнение . Разделяя переменные и интегрируя, получаем , или (так как достаточно найти хотя бы одно ненулевое частное решение, то можно считать, что ).

5) Подставим функцию в уравнение . Получится дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными или для определения функции .

6) Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид .

7) Запишем общее решение исходного дифференциального уравнения , или , или .

8) Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Подставим начальные значения и в дифференциальное уравнение и найдем значение постоянной : , тогда . Следовательно, частное решение, удовлетворяющее начальному условию , имеет вид .

Замечание. Решение задачи Коши дифференциального уравнения (20.1), удовлетворяющее начальному условию , в случае, когда интегралы в (20.3) не вычисляются в элементарных функциях за конечное число операций, может быть найдено с использованием интеграла с переменным верхним пределом и имеет вид

.

Теоретический материал: [1, гл. 12], [2, гл. 9], [3, гл. 9], [5], [8], [10], [12, гл. 18, 20], [17], [19], [21], [27], [33, ч. 2, гл. 4], [35, гл. 1].