Задания для решения на практическом занятии

1. Найти локальные экстремумы функции:

а) , б) , в) ,

г) , д) ,

е)  , ж)  ,

з) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном множестве:

а) на треугольнике, заданном уравнениями , , ; б)  на квадрате , ;

в) на треугольнике, заданном неравенствами , .

3. Найти точки, подозрительные на условный экстремум. Если возможно, указать характер условного экстремума:

а) при ; б) при ;

в) при ; г) при .

4. Цены на два вида товаров равны, соответственно, и денежным единицам. Определить, при каких количествах и продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет вид .

5. Найти оптимальное распределение ресурсов для функции выпуска при условии, что функция затрат ресурсов и линейна, а цены на ресурсы и равны, соответственно, и .

6. Найти оптимальный план и максимум функции прибыли при условии, что функция выпуска товара имеет вид , функция затрат ресурсов и линейна, цены на ресурсы и равны, соответственно, и , а цена единицы товара равна .

7. Найти величины спроса и на два вида товара при ценах на них, соответственно, и , если потребитель при фиксированном доходе стремится оптимизировать функцию полезности . Изобразить допустимое множество и кривые безразличия. Используя уравнение Слуцкого, рассчитать эффекты замены:

а) , б) , в) , г) .

Задания для самостоятельной работы

1. Найти локальные экстремумы функции:

а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном множестве:

а) на полукруге единичного радиуса с центром в начале координат и расположенном в правой полуплоскости;

б) на треугольнике, заданном неравенствами , , ;

в) на множестве, заданном неравенствами , .

3. Найти точки, подозрительные на условный экстремум. Если возможно, указать характер условного экстремума:

а) при ; б) при ; в) при .

4. Цены на два вида товаров равны, соответственно, и денежным единицам. Определить, при каких количествах и продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет вид .

5. Функция предпочтений для инвестора задается эмпирической зависимостью , где – ожидаемая доходность портфеля, – риск. Граница области есть прямая . Определить наиболее предпочтительный для данного инвестора уровень риска.

6. Найти величины спроса и на два вида товара при ценах на них, соответственно, и , если потребитель при фиксированном доходе стремится оптимизировать функцию полезности . Изобразить допустимое множество и кривые безразличия. Используя уравнение Слуцкого, рассчитать эффекты замены.

Тема 19. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

19.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение

, (19.1)

связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производную .

В некоторых случаях из уравнения (19.1) можно выразить производную единственным образом. Тогда дифференциальное уравнение (19.1) равносильно уравнению

. (19.2)

Определение 2. Дифференциальное уравнение первого порядка вида (19.2) называют разрешенным относительно производной.

Определение 3. Функцию , определенную и дифференцируемую на интервале , называют решением дифференциального уравнения (19.1) (или (19.2)), если на интервале имеет место тождество (или .

Определение 4. Множество всех решений дифференциального уравнения первого порядка называют его общим решением.

Иногда общее решение дифференциального уравнения первого порядка может быть представлено в виде , где – произвольная постоянная из некоторого подмножества множества вещественных чисел. Каждое фиксированное значение постоянной дает так называемое частное решение дифференциального уравнения (19.1) или (19.2).

Если решение дифференциального уравнения первого порядка неразрешимо относительно переменной , то представление решения в виде называют общим интегралом этого дифференциального уравнения.

Пусть – общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Оно представляет собой множество функций, графики которых заполняют множество пространства . Для того, чтобы выделить конкретную функцию (частное решение), следует задать координаты точки множества , через которую проходит график этого частного решения. Числа , называют начальными значениями для решения , соотношение – начальным условием решения .

Определение 5. Задачу отыскания частного решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего начальному условию , называют задачей Коши дифференциального уравнения первого порядка.

Теорема 1 (о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка). Пусть в дифференциальном уравнении (19.2) функция определена и непрерывна на открытом множестве пространства ; в каждой точке множества существует непрерывная частная производная . Тогда для всякой точки существует единственное решение , удовлетворяющее начальному условию .