19.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение 6. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называют дифференциальное уравнение первого порядка вида

. (19.3)

Будем предполагать, что функция определена и непрерывна на интервале , функция определена и непрерывна на интервале .

Теорема 2. Общий интеграл дифференциального уравнения (19.3) задается соотношениями

(19.4)

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. В данном уравнении , , следовательно, это уравнение с разделяющимися переменными. Заметим, что для любого . Представим производную в виде , тогда дифференциальное уравнение примет вид . Разделяя переменные, получаем . Проинтегрируем обе части уравнения, тогда или , . Разрешая полученный общий интеграл относительно переменной , получим общее решение , .

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. В данном уравнении , , следовательно, это уравнение с разделяющимися переменными. Заметим, что при . Представим производную в виде , тогда дифференциальное уравнение примет вид . Разделяя переменные, получаем . Проинтегрируем обе части уравнения, тогда или , . Разрешая полученный общий интеграл относительно переменной , получим решение , . Тогда общее решение задается совокупностью

Замечание. Если дифференциальное уравнение имеет вид , то его общее решение задается соотношениями

(19.5)

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. В данном уравнении , , следовательно, это уравнение с разделяющимися переменными. Заметим, что при . Представим производную в виде , тогда дифференциальное уравнение примет вид . Разделяя переменные, получаем . Проинтегрируем обе части уравнения, тогда , или ( ), или ( ). Тогда общий интеграл задается совокупностью

Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. В данном уравнении , , следовательно, это уравнение с разделяющимися переменными. Заметим, что при . Представим производную в виде , тогда дифференциальное уравнение примет вид . Разделяя переменные, получаем . Проинтегрируем обе части уравнения, тогда или ( ). Разрешая полученный общий интеграл относительно переменной , получим решение ( ). Заметим, что при получается решение . Тогда общее решение имеет вид .

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Для этого подставим начальные значения и в дифференциальное уравнение и вычислим : или . Таким образом, искомое частное решение имеет вид .

Замечание 1. К дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными относятся также уравнения вида

, (19.6)

где функции и определены и непрерывны на интервале , а функции и определены и непрерывны на интервале , при любых и  выполняется неравенство . Общий интеграл уравнения (19.4) задается соотношениями

(19.7)

Замечание 2. Если интегралы в формулах (19.4), (19.5) и (19.7) не могут быть вычислены в элементарных функциях за конечное число операций, то в записи общего решения (общего интеграла) интегралы оставляют, а для решения задачи Коши с начальным условием используют интеграл с переменным верхним пределом.

Пример 5. Найти решение задачи Коши , .

Решение. Дифференциальное уравнение имеет вид (19.6), в котором , , , , и, следовательно, является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Найдем общее решение или общий интеграл данного дифференциального уравнения. Выполняя разделение переменных, получим уравнение . Вычислим интегралы, стоящие слева и справа от знака равенства:

.

Так как не может быть вычислен в элементарных функциях за конечное число операций, то общий интеграл дифференциального уравнения запишем в виде .

Для решения задачи Коши с начальным условием перепишем полученный общий интеграл с использованием интеграла с переменным верхним пределом: ( – данная в условии начальная точка). Учитывая, что , получим . Найдем значение . Для этого подставим в последнее равенство начальное условие , тогда . Так как (см. тему 14, свойства определенного интеграла), то . Таким образом, решение задачи Коши принимает вид .

Теоретический материал: [1, гл. 12], [2, гл. 9], [3, гл. 9], [5], [8], [10], [12, гл. 18, 20], [17], [19], [21], [27], [33, ч. 2, гл. 4], [35, гл. 1].