Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
10_С133-148_Разд2-3.doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
18.08.2019
Размер:
1.26 Mб
Скачать

21.3. Математическая модель рынка с прогнозируемыми ценами

В теме 10 была рассмотрена простейшая модель рыночного равновесия , когда функции спроса и предложения зависят только от текущей цены на товар. В реальных ситуациях спрос и предложение зависят также от тенденции ценообразования и темпа изменения цены. В моделях с непрерывной и дифференцируемой зависимостью цены от времени эти характеристики описываются, соответственно, первой и второй производными функции ( – время). В этом случае функции спроса и предложения могут иметь вид , , где и ( ) – вещественные числа. Записывая условие рыночного равновесия , получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно равновесной цены

. (21.3)

Равновесную цену , определяемую дифференциальным уравнением (21.3), называют неустановившейся, так как значение меняется с течением времени . Соответствующую модель рынка называют нестационарной или динамической. Если же значение цены не зависит от времени , то равновесную цену называют установившейся. Установившаяся равновесная цена в динамической модели рынка определяется условием .

Замечание. Простейшая паутинная модель рыночного равновесия, рассмотренная в теме 10 (см. п. 10.5.1), является стационарной или статической моделью относительно установившейся равновесной цены.

По поведению неустановившейся равновесной цены по отношению к установившейся равновесной цене можно судить о состоянии рынка: стабильном или неустойчивом. Для этого достаточно вычислить . Если окажется, что существует и равен нулю или не существует, но  – периодическая функция, то состояния рынка стабильное. В этом случае неустановившаяся равновесная цена с течением времени достигнет установившейся равновесной цены . Если окажется, что бесконечен или не существует и не является периодической функцией, то дифференциальное уравнение (21.3) описывает состояние паники на рынке. В этом случае равновесная цена с течением времени будет только удаляться от установившейся равновесной цены .

Пример 6. Функции спроса и предложения имеют вид , . Найти неустановившуюся и установившуюся равновесные цены; выяснить, является ли стабильным состояние рынка.

Решение. 1) Найдем неустановившуюся равновесную цену. Из уравнения рыночного равновесия получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение, позволяющее найти неустановившуюся рыночную цену:

или .

Выпишем соответствующее ему линейное однородное дифференциальное уравнение и характеристическое уравнение . Найдем корни характеристического уравнения: , . Так как они вещественны и различны, то фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения состоит из функций , , а его общее решение имеет вид . Правая часть исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть представлена следующим образом: . Так как не является корнем характеристического уравнения , то частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде , где – некоторое, пока неизвестное, число. Вычислим , подставим и его производные в дифференциальное уравнение , получим или . Таким образом, . В силу теоремы 2 запишем общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения , которое представляет собой неустановившуюся рыночную цену.

2) Найдем установившуюся рыночную цену. Для этого подставим в дифференциальное уравнение , получим, что или – установившаяся рыночная цена.

3) Оценим состояние рынка. Для этого вычислим . Получим

.

Следовательно, состояние рынка стабильное.

З амечание. Процесс приближения неустановившейся равновесной цены к установившейся показан на рис. 21.1. При построении функции предполагалось, что в момент времени даны начальное значение неустановившейся равновесной цены денежных единиц и начальное значение ее первой производной (скорость цены) денежных единиц в единицу времени. Соответствующее частное решение имеет вид .

Теоретический материал: [1, гл. 12], [2, гл. 9], [3, гл. 9], [5], [8], [10], [12, гл. 19, 20], [17], [19], [21], [27], [33, ч. 2, гл. 4], [35, гл. 4].

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.