Задания для самостоятельной работы
1. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка двумя методами (методом вариации произвольной постоянной и методом Бернулли), а затем найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию:
а)
,
;
б)
,
;
в)
,
;
г) 
;
д)*
,
.
Тема 21. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение 1. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называют дифференциальное уравнение вида
,
(21.1)
где
,
,
– постоянные числа,
,
функция
определена и непрерывна на некотором
интервале
,
.
Определение 2. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называют дифференциальное уравнение вида
.
(21.2)
Определение 3. Если в дифференциальном уравнении (21.1) , то уравнение вида (21.2) называют линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка, соответствующим неоднородному линейному дифференциальному уравнению (21.1).
Замечание 1. Дифференциальные уравнения (21.1) и (21.2) удовлетворяют теореме о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка.
Замечание 2. Начальные условия для
дифференциального уравнения второго
порядка имеют вид
,
.
Задача Коши дифференциального уравнения
второго порядка формулируется следующим
образом: найти решение дифференциального
уравнения, удовлетворяющее начальным
условиям
,
.
Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка
1. Функция
всегда является решением линейного
однородного дифференциального равнения
второго порядка.
2. Если функции
и
являются решениями линейного однородного
дифференциального уравнения второго
порядка, то функции
и
также являются его решениями.
3. Если функция
является решением линейного однородного
дифференциального уравнения второго
порядка, а
– любое число, отличное от нуля, то
функция
также является его решением.
21.1. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение 4. Функции
и
,
определенные на некотором интервале
,
называют линейно зависимыми на
интервале
,
если существуют вещественные числа
и
,
не все одновременно равные нулю, что
для любого
справедливо равенство
.
Определение 5. Если для любого
равенство
выполняется только при
,
то функции
и
называют линейно независимыми на
интервале
.
Определение 6. Два частных решения и уравнения (21.2) называют фундаментальной системой решений, если они линейно независимы.
Теорема 1. Если функции
и
образуют фундаментальную систему
решений уравнения (21.2), то его общее
решение имеет вид
,
где
и
– вещественные произвольные постоянные.
Определение 7. Характеристическим
уравнением, соответствующим
дифференциальному уравнению (21.2),
называют алгебраическое уравнение вида
.
Алгоритм поиска общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
1) Составить характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению.
2) Найти корни характеристического уравнения.
3) Выписать фундаментальную систему решений данного дифференциального уравнения в соответствии с правилом:
– если дискриминант
характеристического уравнения
,
то характеристическое уравнение имеет
два вещественных различных корня
и
.
Тогда фундаментальная система исходного
дифференциального уравнения имеет вид
,
;
– если дискриминант
характеристического уравнения
,
то характеристическое уравнение
имеет один вещественный корень кратности
2:
.
Тогда фундаментальная система исходного
дифференциального уравнения имеет вид
,
;
– если дискриминант
характеристического уравнения
,
то характеристическое уравнение
имеет два комплексно-сопряженных корня
и
.
Тогда фундаментальная система исходного
дифференциального уравнения имеет вид
,
.
4) Записать общее решение уравнения (21.2) в виде , где и – вещественные произвольные постоянные. Записать ответ.
Пример 1. Найти общее решение
дифференциального уравнения
.
Решение. Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
1) Его характеристическое уравнение
имеет вид
.
2) Так как
,
то уравнение имеет два комплексно-сопряженных
корня
.
3) В соответствии с правилом фундаментальная
система решений имеет вид
,
.
4) Общее решение:
.
Пример 2. Найти частное решение
дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
,
.
Решение. Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
1) Его характеристическое уравнение
имеет вид
.
2) Так как
,
то уравнение имеет два различных
вещественных корня
,
.
3) В соответствии
с правилом фундаментальная система
решений имеет вид
,
.
4) Общее решение:
.
5) Найдем частное решение данного
дифференциального уравнения,
удовлетворяющего начальным условиям
,
.
Вычислим производную от общего
решения:
.
Подставим в общее решение и его производную
начальные условия
,
:
или
Получили систему линейных алгебраических
уравнений для определения
и
.
Решая ее, получаем
,
.
Тогда искомое частное решение примет
вид
.
Пример 3. Найти решение задачи
Коши
,
,
.
Решение. Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
1) Его характеристическое уравнение
имеет вид
.
2) Так как
(или
),
то уравнение имеет один вещественный
корень кратности 2:
.
3) В соответствии
с правилом фундаментальная система
решений имеет вид
,
.
4) Общее решение: .
5) Найдем частное решение данного
дифференциального уравнения,
удовлетворяющего начальным условиям
,
.
Вычислим производную от общего решения:
.
Подставим в общее решение и его
производную начальные условия
,
:
или
Получили систему
линейных алгебраических уравнений для
определения
и
.
Решая ее, получаем
,
.
Тогда искомое частное решение примет
вид
.