Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
10_С133-148_Разд2-3.doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
18.08.2019
Размер:
1.26 Mб
Скачать

Задания для самостоятельной работы

1. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка двумя методами (методом вариации произвольной постоянной и методом Бернулли), а затем найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию:

а) , ; б) , ; в) , ; г)  ; д)* , .

Тема 21. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 1. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называют дифференциальное уравнение вида

, (21.1)

где , , – постоянные числа, , функция определена и непрерывна на некотором интервале , .

Определение 2. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называют дифференциальное уравнение вида

. (21.2)

Определение 3. Если в дифференциальном уравнении (21.1) , то уравнение вида (21.2) называют линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка, соответствующим неоднородному линейному дифференциальному уравнению (21.1).

Замечание 1. Дифференциальные уравнения (21.1) и (21.2) удовлетворяют теореме о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка.

Замечание 2. Начальные условия для дифференциального уравнения второго порядка имеют вид , . Задача Коши дифференциального уравнения второго порядка формулируется следующим образом: найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , .

Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка

1. Функция всегда является решением линейного однородного дифференциального равнения второго порядка.

2. Если функции и являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то функции и также являются его решениями.

3. Если функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, а – любое число, отличное от нуля, то функция также является его решением.

21.1. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 4. Функции и , определенные на некотором интервале , называют линейно зависимыми на интервале , если существуют вещественные числа и , не все одновременно равные нулю, что для любого справедливо равенство .

Определение 5. Если для любого равенство выполняется только при , то функции и называют линейно независимыми на интервале .

Определение 6. Два частных решения и уравнения (21.2) называют фундаментальной системой решений, если они линейно независимы.

Теорема 1. Если функции и образуют фундаментальную систему решений уравнения (21.2), то его общее решение имеет вид , где и – вещественные произвольные постоянные.

Определение 7. Характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению (21.2), называют алгебраическое уравнение вида .

Алгоритм поиска общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1) Составить характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению.

2) Найти корни характеристического уравнения.

3) Выписать фундаментальную систему решений данного дифференциального уравнения в соответствии с правилом:

– если дискриминант характеристического уравнения , то характеристическое уравнение имеет два вещественных различных корня и . Тогда фундаментальная система исходного дифференциального уравнения имеет вид , ;

– если дискриминант характеристического уравнения , то характеристическое уравнение имеет один вещественный корень кратности 2: . Тогда фундаментальная система исходного дифференциального уравнения имеет вид , ;

– если дискриминант характеристического уравнения , то характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня и . Тогда фундаментальная система исходного дифференциального уравнения имеет вид , .

4) Записать общее решение уравнения (21.2) в виде , где и – вещественные произвольные постоянные. Записать ответ.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

1) Его характеристическое уравнение имеет вид .

2) Так как , то уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня .

3) В соответствии с правилом фундаментальная система решений имеет вид , .

4) Общее решение: .

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение. Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

1) Его характеристическое уравнение имеет вид .

2) Так как , то уравнение имеет два различных вещественных корня , .

3) В соответствии с правилом фундаментальная система решений имеет вид , .

4) Общее решение: .

5) Найдем частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям , . Вычислим производную от общего решения: . Подставим в общее решение и его производную начальные условия , :

или

Получили систему линейных алгебраических уравнений для определения и . Решая ее, получаем , . Тогда искомое частное решение примет вид .

Пример 3. Найти решение задачи Коши , , .

Решение. Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

1) Его характеристическое уравнение имеет вид .

2) Так как (или ), то уравнение имеет один вещественный корень кратности 2: .

3) В соответствии с правилом фундаментальная система решений имеет вид , .

4) Общее решение: .

5) Найдем частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям , . Вычислим производную от общего решения: . Подставим в общее решение и его производную начальные условия , :

или

Получили систему линейных алгебраических уравнений для определения и  . Решая ее, получаем , . Тогда искомое частное решение примет вид .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.