21.2. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Теорема 2. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (21.1) можно представить в виде суммы общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (21.2) и некоторого частного решения неоднородного уравнения (21.1).

Замечание. Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка может быть применен общий метод вариации произвольных постоянных (см. [1, гл. 12, 12.8], [33, ч. 2, гл. 4, § 3], [35, гл. 4]). Но для достаточно большого числа случаев может быть использован метод подбора частного решения по виду правой части.

Теорема 3. Пусть дано дифференциальное уравнение . Если функция является частным решением уравнения , а функция – частным решением уравнения , то функция является частным решением .

Алгоритм поиска общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1) Найти общее решение соответствующего однородного уравнения (21.2).

2) Подобрать частное решение неоднородного уравнения (21.1) в соответствии с правилом подбора частного решения по виду правой части.

Пусть , где – известный многочлен степени . Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде , где – многочлен степени с пока неизвестными коэффициентами. Если является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде . Если является корнем характеристического уравнения кратности 2, то частное решение следует искать в виде . Подставляя в уравнение (21.2) и приравнивая коэффициенты, стоящие слева и справа при одинаковых степенях , найти коэффициенты многочлена .

Пусть или , где – многочлен степени . Если не являются комплексно-сопряженными корнями характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде , где и – различные многочлены степени с пока неизвестными коэффициентами. Подставляя в уравнение (21.2) и приравнивая коэффициенты, стоящие слева и справа сначала соответственно при синусах и косинусах, а затем при одинаковых степенях , найти коэффициенты многочленов и .

3) Записать общее решение неоднородного уравнения (21.1). Записать ответ.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

1) Выпишем соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение: . Его характеристическое уравнение имеет вид , его корни , . В соответствии с правилом фундаментальная система решений состоит из функций , . Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения: .

2) Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой многочлен второй степени и может быть представлена следующим образом: . Так как является простым корнем характеристического уравнения, то в соответствии с правилом подбора решения по виду правой части частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде произведения многочлена второй степени с пока неизвестными коэффициентами на переменную , то есть в виде , где , и – некоторые неопределенные вещественные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные от частного решения , получим , . Подставим частное решение и его производные в линейное неоднородное дифференциальное уравнение , тогда

или .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов , и :

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

.

3) Таким образом, по теореме 2 общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения: .

Пример 5. Найти решение задачи Коши линейного дифференциального уравнения , , .

Решение. Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

1) Выпишем соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение: . Его характеристическое уравнение имеет вид , его корни , . В соответствии с правилом фундаментальная система решений состоит из функций , . Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения: .

2) Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой произведение многочлена первой степени на функцию : . Так как не является корнем характеристического уравнения, то в соответствии с правилом подбора решения по виду правой части частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде произведения многочлена первой степени с пока неизвестными коэффициентами на функцию , то есть в виде , где и – некоторые неопределенные вещественные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные от частного решения , получим

,

.

Подставим частное решение и его производные в линейное неоднородное дифференциальное уравнение , получим равенство

,

которое после сокращения на и приведения подобных слагаемых примет вид

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов и :

Следовательно, искомое частное решение имеет вид .

3) Таким образом, по теореме 2 общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения .

Найдем решение задачи Коши. Для этого найдем производную от общего решения: , а затем подставим начальные условия , в общее решение и его производную:

или

Получили систему линейных алгебраических уравнений для определения и . Решая ее, получаем , . Тогда искомое частное решение примет вид .