Тема 26. Непрерывные случайные величины, их числовые характеристики и законы распределения

Пусть дана случайная величина .

Определение 1. Если значения, которые может принимать данная случайная величина , заполняют сплошь некоторый конечный или бесконечный интервал , то случайную величину называют непрерывной.

Определение 2. Закон распределения непрерывной случайной величины называют функцией плотности распределения вероятностей или дифференциальной функцией распределения вероятностей.

Определение 3. График функции называют кривой распределения.

Свойства функции плотности распределения вероятностей

1. .

2. (если все значения случайной величины заключены в интервале , то ).

Вероятность , что значение, принятое случайной величиной , попадет в интервал , определяется формулой .

Определение 4. Если – плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины, то функция распределения вероятности имеет вид . В этом случае функцию называют интегральной функцией распределения вероятностей.

Свойства функции распределения вероятностей

1. – неубывающая функция.

2. .

3. .

Определение 5. Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяют по формуле при условии, что интеграл абсолютно сходится.

Определение 6. Дисперсию непрерывной случайной величины определяют по формуле .

Определение 7. Средним квадратичным отклонением (СКО) случайной величины Х называют величину .

Определение 8. Модой непрерывной случайной величины Х называют то ее значение, при котором плотность распределения максимальна. Геометрически мода является абсциссой той точки кривой распределения, ордината которой максимальна.

Определение 9. Медианой непрерывной случайной величины Х называют такое ее значение , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина больше или меньше , то есть . Прямая, проведенная в точке с абсциссой , делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения.

Пример 1. Дана функция плотности распределения вероятностей случайной величины

Найти интегральную функцию распределения этой случайной величины и ее числовые характеристики. Построить графики функции плотности распределения вероятностей и интегральной функции распределения.

Решение. 1) Найдем интегральную функцию распределения.

При .

При .

При .

Таким образом,

2) Найдем числовые характеристики случайной величины:

а) математическое ожидание:

;

б) дисперсия:

;

в) СКО: ;

г) мода. Найдем максимум функции . Для этого вычислим первую и вторую производную функции : при , ; , , поэтому в точке плотность распределения достигает максимального значения. Следовательно, мода ;

д ) медиана. Найдем медиану из условия . В данном случае . Отсюда для определения медианы получаем уравнение или , откуда . Из четырех корней этого уравнения нужно выбрать тот, который заключен между 0 и 2. Таким образом, медиана .

3 ) Построим график плотности вероятности (рис. 26.1).

Построим график функции распределения (рис. 26.2).

Определение 10. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины задан функцией плотности распределения вида

где и – известные вещественные числа, .

Определение 11. Показательный закон распределения непрерывной случайной величины задан функцией плотности распределения вида

где – постоянный параметр.

Определение 12. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины задан функцией плотности распределения вида , где – математическое ожидание, а – СКО этой случайной величины.

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал определяется формулой

,

где – функция Лапласа, значения которой заданы в специальной таблице (Приложение 6).

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа определяется по формуле .

Основные законы распределения непрерывных случайных величин, их свойства и графики представлены в Приложении 7.

Теоретический материал: [2, гл. 11], [3, гл. 18], [4, гл. 1], [6, гл. 4–5], [7, гл. 6–9], [12, гл. 23], [13, гл. 3, 4], [14, гл. 12], [33, ч. II, гл. 5, §§ 5–11].