Закон распределения дискретной случайной величины , которая может принимать значение (0, 1, 2, …, ), описываемый формулой Бернулли, называют биномиальным.

Для биномиального закона распределения , .

Основные законы распределения дискретных случайных величин, их числовые характеристики и графики представлены в Приложении 7.

Определение 11. Пусть производится независимых испытаний, вероятность наступления случайного события в каждом испытании равна . Закон распределения дискретной случайной величины , которая может принимать любые целые неотрицательные значения (0, 1, 2, …, ), описываемый формулой , где , называют законом Пуассона.

Для закона Пуассона , .

Пример 1. Случайная величина Х имеет ряд распределения

	2	4	8	10
	0,4	0,2	0,1	0,3

П остроить многоугольник распределения, найти функцию распределения вероятностей и построить ее, найти математическое ожидание, дисперсию, СКО и моду случайной величины Х.

Решение. 1) В прямоугольной системе координат отметим точки и соединим их последовательно отрезками. Получим многоугольник распределения (рис. 25.1).

2) Найдем функцию распределения вероятностей.

Е сли , то .

Если , то .

Если , то

.

Если , то

.

Если , то

.

Построим график функции распределения вероятности (см. рис. 25.2).

3) Найдем числовые характеристики случайной величины Х:

а) математическое ожидание:

;

б) дисперсия:

;

в) СКО: ;

г) мода случайной величины Х – это такое ее значение, которому соответствует наибольшая вероятность, наибольшая вероятность соответствует значению ; поэтому .

Теоретический материал: [2, гл. 11], [3, гл. 18], [4, гл. 1], [6, гл. 4–5], [7, гл. 6–9], [12, гл. 23], [13, гл. 3, 4], [14, гл. 12], [33, ч. II, гл. 5, §§ 5–9].

Задания для решения на практическом занятии

1. Случайная величина Х характеризуется рядом распределения

	0	1	2	3	4
	0,2	0,4	0,3	0,08	0,02

Построить полигон распределения, функцию распределения, определить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и моду).

2. В ящике 6 белых и 4 черных шара. Из него 5 раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в ящик и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.

3. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно 2 вызова.

4. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадений «герба» при двух бросаниях монеты. Построить полигон распределения.

5. В ящике имеется 4 шара с номерами от 1 до 4. Вынули 2 шара. Случайная величина Х – сумма номеров шаров. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х.

6. Среди семян ржи имеется 0,4 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5 000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

7. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных.

8. Устройство состоит из 1 000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

9. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных.

Задания для самостоятельной работы

1. Случайная величина х характеризуется рядом распределения

	10	20	30	40	50
	0,2	0,3	0,35	0,1	0,05

Построить полигон распределения, функцию распределения, определить ее математическое ожидание, дисперсию и моду.

2. Стрелок производит по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий. Найти математическое ожидание.

3. В ящике 5 белых и 25 черных шаров. Вынули один шар. Случайная величина Х – число вынутых белых шаров. Построить функцию распределения.

4. Случайная величина х характеризуется рядом распределения

	10	20	30	40	50	60
	0,24	0,36	0,20	0,15	0,03	0,02

Построить полигон распределения, функцию распределения, определить ее математическое ожидание, дисперсию и моду.

5. Книга в 1 000 страниц имеет 100 опечаток. Найти закон распределения числа опечаток на странице.

6. В партии 10 % нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди 4-х отобранных, построить многоугольник распределения и функцию распределения.

7. Вероятность попадания стрелком в мишень равна 2/3. Стрелок сделал 15 выстрелов. Случайная величина Х – число попаданий в мишень. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

8. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Составить закон распределения числа бракованных книг в тираже.

9. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.