- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Архангельск
- •Рекомендации по решению задач контрольных работ
- •Основные теоретические сведения
- •Относительность движения. Система отсчета.
- •В декартовой системе координат такой радиус-вектор может быть представлен следующим образом:
- •Кинематика материальной точки
- •При постоянном угловом ускорении угловая скорость
- •Динамика поступательного движения
- •Первый закон Ньютона.
- •Второй закон Ньютона. Сила. Масса.
- •Замкнутые системы. Закон сохранения импульса.
- •Центр масс. Теорема о движении центра масс.
- •Работа и мощность в механике.
- •Кинетическая энергия материальной точки и механической системы
- •Консервативные и неконсервативные силы.
- •Потенциальная энергия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Динамика вращательного движения твердого тела
- •Момент силы и момент импульса
- •Закон сохранения момента импульса
- •Момент инерции. Теорема Штейнера.
- •Моменты инерции некоторых однородных симметричных тел
- •Основное уравнение динамики вращательного движения
- •Кинетическая энергия и работа при вращательном движении абсолютно твердого тела
- •Работа при повороте твердого тела относительно произвольной неподвижной оси z на некоторый угол φ под действием внешних сил Мz
- •Примеры решения задач
- •Поэтому, учитывая, что
- •По третьему закону Ньютона
- •Проверим размерность
- •Произведем расчет
- •Варианты контрольной Работы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
Кинетическая энергия и работа при вращательном движении абсолютно твердого тела
Кинетическая энергия Т абсолютно твердого тела, имеющего момент инерции Jz и угловую скорость ωz относительно неподвижной оси вращения z
Т = Jzωz2
Твердое тело может совершать плоское движение, при котором все точки такого тела движутся в параллельных плоскостях.
Произвольное плоское движение можно представить как совокупность поступательного и вращательного движения.
Кинетическая
энергия при плоском движении катящегося
без скольжения вращающегося твердого
тела массой m,
имеющего скорость поступательного
движения центра масс
(рис. 10)
Т
=
,
где - момент инерции, а - угловая скорость твердого тела относительно оси z, проходящей через центр масс этого тела.
Работа при повороте твердого тела относительно произвольной неподвижной оси z на некоторый угол φ под действием внешних сил Мz
А =
Изменение кинетической энергии ΔТ вращающегося твердого тела равняется работе А внешних сил :
ΔТ = А
Примеры решения задач
Пример 1. Небольшое тело бросили под углом =600 к горизонту. Во сколько раз дальность его полета S больше максимальной высоты подъема тела hm ? Сопротивление воздуха не учитывать.
Дано: =600
Н айти: n=
Решение:
Рассматривая
тело как материальную точку, движущуюся
в координатах x,y
(рис.11) запишем зависимость высоты
подъема тела h
от времени t:
,
(1) где
0
– начальная скорость тела, а g
–ускорение свободного падения.
При подъеме тела на него действует сила тяжести, поэтому вертикальная составляющая скорости тела
у = sinα – gt (2)
уменьшается, достигая в верхней точке траектории (точка С на рис. 11) нулевого значения. Отсюда время подъема tn тела
tn = (3)
Подставив (3) в (1) , получим максимальную высоту подъема hm:
hm = (4)
Т.к. по условию задачи сопротивление движению тела отсутствует, то горизонтальная составляющая скорости υх не изменяется:
= cosα = const ,
а время подъема tn равно времени спуска tc.
Следовательно, полное время движения тела
t = 2tn = , (5)
а дальность полета S
S = xt = (6)
Учитывая, что sin α 0 и cos α 0 , получим, используя (4) и (6):
n = =
Проверим размерность величины n:
[ n ] = = 1
и произведем расчет
n = = 2,3
Ответ: n = 2,3
Пример 2. Найти угол α между векторами скорости и полного ускорения точки М, лежащей на ободе равноускоренно вращающегося диска в момент, когда диск совершит первые два оборота после начала вращения.
Дано:
N
= 2
Найти: α.
Решение:
Разложим
вектор ускорения
точки М на две составляющие: тангенциальное
и нормальное
ускорения (рис.12).
Следовательно,
tg
α
=
(1)
Модуль нормального
ускорения
аn
=
,
(2)
где – скорость, R – радиус окружности, (равный радиусу диска), которую описывает точка М в процессе движения вместе с диском.