- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Архангельск
- •Рекомендации по решению задач контрольных работ
- •Основные теоретические сведения
- •Относительность движения. Система отсчета.
- •В декартовой системе координат такой радиус-вектор может быть представлен следующим образом:
- •Кинематика материальной точки
- •При постоянном угловом ускорении угловая скорость
- •Динамика поступательного движения
- •Первый закон Ньютона.
- •Второй закон Ньютона. Сила. Масса.
- •Замкнутые системы. Закон сохранения импульса.
- •Центр масс. Теорема о движении центра масс.
- •Работа и мощность в механике.
- •Кинетическая энергия материальной точки и механической системы
- •Консервативные и неконсервативные силы.
- •Потенциальная энергия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Динамика вращательного движения твердого тела
- •Момент силы и момент импульса
- •Закон сохранения момента импульса
- •Момент инерции. Теорема Штейнера.
- •Моменты инерции некоторых однородных симметричных тел
- •Основное уравнение динамики вращательного движения
- •Кинетическая энергия и работа при вращательном движении абсолютно твердого тела
- •Работа при повороте твердого тела относительно произвольной неподвижной оси z на некоторый угол φ под действием внешних сил Мz
- •Примеры решения задач
- •Поэтому, учитывая, что
- •По третьему закону Ньютона
- •Проверим размерность
- •Произведем расчет
- •Варианты контрольной Работы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
По третьему закону Ньютона
| | = | |, | | = | |, (13)
следовательно, согласно (8,12,13)
= = mg(sin +kcos +1) (14)
Результирующая сила, действующая на блок со стороны нити,
= +
а ее модуль, как следует из рисунка
Т = T1cos +T2cos ,
Или, учитывая (14)
Т = mg(sin + kcos +1)cos
Проверим размерность
[Fд] = [mg] [sin +kcos +1] [cos ] =
Произведем расчет
Fд =2,5 9,8(sin300+0,15 cos300+1) (cos300)=35H
Ответ: Fд = 35H
Пример 4. Тело массой 20 кг движется со скоростью 3,0 м/с и нагоняет второе тело массой 30 кг, движущееся со скоростью 1,0 м/с. Найти скорость тел после столкновения при неупругом и при упругом ударах. Считать, что тела движутся по одной прямой, а удар – центральный.
Дано: m=20кг, =3,0
m=30кг, =1,0
Найти: u1, u2.
Решение:
Рассмотрим
сначала неупругий удар. В этом случае
после взаимодействия тела будут
двигаться совместно с обшей скоростью
( рис. 15): u=u1=u2 Запишем для такой
системы закон сохранения импульса,
считая ее замкнутой:
при этом m = m1 + m2 – общая масса тел.
Направим ось координат (ось х на рис. 15) вдоль направления движения тел и найдем проекции импульсов взаимодействующих тел на эту ось:
m1 1 + m2 2 = mu
Следовательно,
Проверим размерность:
[ u ] = = =
Произведем расчет:
u = = 1,8 м/с
т.е. u1 = u2 = 1,8 м/с.
Рассмотрим теперь упругий удар тел, полагая, как и ранее, систему тел замкнутой, считая при этом, что первое тело после удара будет двигаться влево со скоростью , а второе – по-прежнему вправо со скоростью , (рис. 16). Запишем закон сохранения импульса для такой системы:
В проекциях на ось х, которую направим вправо по направлению первоначального движения шаров, можно записать
m1 1 + m2 2 = - m1u1 + m2u2 (1)
Уравнения
(1) для решения задачи в данном случае
оказывается недостаточно, т.к. число
неизвестных (u1
, u2)
больше количества уравнений. Для решения
задачи нам необходимо привлечь еще
одно уравнение так, чтобы количество
уравнений равнялось количеству
неизвестных.
Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии для системы взаимодействующих тел:
(2)
Преобразуем уравнение (2) к виду
, (3)
а уравнение (1) запишем таким образом
(4)
Разделим почленно друг на друга уравнение (3) и (4), полагая при этом, что
1 + u1 ≠ 0 , u2 – 2 ≠ 0
В результате получим
1 – u1 = u2 + 2 (5)
Решив (4) совместно с (5), получим:
,
Проверим размерность:
Проведем расчет
м/с
Отметим, что знак минус указывает на то, что направление скорости для первого тела выбрано нами неправильно: на самом деле тело после удара должно двигаться вправо с той же по величине скоростью
м/с
Ответ: u1 = u2 = 1,8 м/с - при неупругом ударе;
u1 = 0,6 м/c, u2 = 2,6 м/с - при упругом ударе
Пример 5. По ободу шкива, насаженного на общую ось Z с маховым колесом, намотана нить, к концу которой подвешен груз массой m = 10кг (рис.18). На какое расстояние h должен опуститься груз, чтобы коле-
со
со шкивом начало вращаться с частотой
n
= 60 об/мин? Момент инерции колеса со
шкивом относительно оси Z
Jz
= 0,42 кг · м2
, радиус шкива R
= 10 см.
Дано:
m
= 1,0 кг; n
= 1,0 с-1;
Jz
= 0,42 кг·м2;
R
= 0,10 м
Найти:
h
Решение:
Задачу
решим сначала силовым методом, а затем,
используя закон сохранения механической
энергии.
На груз действуют сила тяжести и сила натяжения нити , сообщая грузу ускорение (рис. 18), поэтому, по второму закону Ньютона
Или в проекциях на ось х, направленную вверх параллельно нити
Т – mg = - ma (1)
На шкив со стороны нити действует сила натяжения , момент Мz которой относительно оси вращения Z шкива
В тоже время, согласно основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела
,
где - угловое ускорение шкива относительно оси Z , R – его радиус.
Поэтому
, (2)
Учитывая, что по третьему закону Ньютона
,
получим
TR = Jz ε z (3)
Полагая, что проскальзывание нити относительно блока при движении груза отсутствует, и учитывая, что по условию задачи нить является невесомой и нерастяжимой, можно считать, что тангенциальное ускорение аτ точки А, находящейся на ободе шкива, соприкасающейся с нитью, равно ускорению груза а :
аτ = а , (4)
а скорость этой точки υА равна скорости груза υ:
υА= υ (5)
Т.к. аτ = εz R , (6)
то, совместно решив (1) , (3) и (6) , с учетом (4) получим
(7)
Высота h, на которую опустится груз
,
где – скорость груза на высоте h, 0 – его начальная скорость.
По условию задачи 0 = 0,
следовательно (8)
Cкорость точки А на ободе шкива
A = ,
где ωz – угловая скорость шкива относительно оси Z.
Поэтому, учитывая (5)
(9)
Как известно, ωz = 2πn. (10)
Следовательно, учитывая (7) и (10), окончательно получим
(11)
Так как силы, действующие в системе груз-шкив-колесо являются консервативными, задачу можно решить, используя закон сохранения механической энергии.
До начала движения груза полная механическая энергия Е1 системы
была равна ее потенциальной энергии:
Е1 = mgh , (12)
а после опускания груза на высоту h полная механическая энергия системы Е2 равна сумме кинетической энергии вращательного движения колеса со шкивом и кинетической энергии груза:
или, учитывая, что = ωz R
(13)
По закону сохранения механической энергии
Е1 = Е2 ,
следовательно,
(14)
или с учетом (10)
,
т.е. получили тот же самый результат.
Проверим размерность:
Произведем расчет:
Ответ: h = 0,87 м.
Пример 6. Маятник в виде сплошного однородного шара массой М = 10,0 кг и радиусом R = 15 см может качаться вокруг горизонтальной
оси Z, проходящей через
конец тонкой невесомой нерастяжимой
нити, длина которой
равна радиусу шара R
(рис.19). В центр шара попадает пуля массой
m= 10,0 г, летевшая горизонтально
со скоростью
= 800 м/с, и застревает в нем. На какой угол
после этого отклонится нить? маятника?
Дано: m = 10,0 г ; = 800 м/с; М = 10,0 кг; R = = 15 см.
Найти: α.
Решение. До попадания пули на шар действуют сила тяжести М и сила натяжения нити .
Линии действия этих сил проходят через ось вращения Z, поэтому момент сил, действующих на шар до удара равен нулю.
Масса пули гораздо меньше массы шара, а удар пули о шар происходит очень быстро, т.е. можно считать, что существенного смещения шара за время удара не произойдет. Следовательно, сразу же после удара результирующий момент сил, действующих на систему, практически не изменится и по-прежнему будет равен нулю. Поэтому к такой системе можно применить закон сохранения момента импульса. Т.е. для моментов импульса системы относительно оси Z (рис.19) можно записать.
L1Z = L2Z , (1)
где L1Z – момент импульса системы до удара, L2Z – после удара.
Момент импульса системы до удара равен моменту импульса пули:
L1Z = m ( + R), (2)
а после удара – системы пуля – маятник:
L2Z = JZ ωZ , (3)
где JZ – момент инерции системы, ωZ – ее угловая скорость относительно оси вращения Z.
Поэтому (1) запишется с учетом (2) и (3) следующим образом:
m ( + R) = JZ ωZ (4)
Момент инерции системы JZ складывается из моментов инерции шара Jшz и пули Jпz :
Jz = Jшz + Jпz ,
или
(5)
Момент инерции шара относительно оси вращения Z найдем по теореме Штейнера:
Т.к. по условию задачи = R , (6)
то
Jшz = 4,4 МR2 (7)
Момент инерции пули относительно оси Z найдем как для материальной точки, т.к. размеры пули малы по сравнению с расстоянием до оси вращения Z
Jпz = m ( + R)2
или, с учетом (6)
Jп = 4 mR2 (8)
Следовательно
,
Подставим числовые значения
,
т.е. можно считать, что << 1 (9)
Поэтому (5) и (4) приобретают следующий вид
Jz = Jшz , (10)
m ( +R) = Jшzωz (11)
В процессе удара механическая энергия системы не сохраняется, переходя частично во внутреннюю. Однако после удара механическая энергия движущейся системы маятник - пуля будет сохраняться, т.к. после удара в системе действуют только консервативные силы.
Следовательно, при подъеме шара вместе с пулей кинетическая энергия вращательного движения системы будет переходить в потенциальную энергию поднятых тел :
, (12)
где h – высота, на которую поднимется центр масс системы.
Т.к. по условию задачи
m << M
и нить невесомая то, учитывая (10), запишем (12) в виде
(13)
Решив совместно (11) и (13), получим
(14)
Из рис. 19 следует, что
Поэтому с учетом (6) и (14), окончательно получим
(15)
Проверим размерность
Следовательно,
Произведем расчет
Ответ: α = 26˚.