2.5. Побудова коригувальних кодів Хеммінга

Найбільший інтерес представляють коригувальні коди, які дозволяють не тільки виявити, але й виправити помилку.

Розглянемо приклад побудови типового плотновпакованного систематичного коду Хеммінга. У таких завданнях задається або кількість інформаційних символів, або кількість інформаційних комбінацій. Код Хеммінга будують або за допомогою виробляючої матриці або без її. Якщо в прийнятому коді є помилка, то результати перевірок за контрольним позиціям утворять двійкове число, що вказує номер помилкової позиції. Покажемо на прикладі алгоритм побудови коду Хеммінга.

Завдання. Побудувати код Хеммінга для виявлення й виправлення помилки для інформаційної комбінації 0101. Пояснити алгоритм визначення адреси помилки.

Рішення.

1. Кількість інформаційних розрядів n_м= 4. Кількість контрольних розрядів коду Хеммінга визначається по таблиці №1 додатка №3: n_к = 3. Загальна довжина коду n дорівнює:

n= n_м+ n_к = 4+3=7 розрядів.

2. Номера позицій П_i контрольних коефіцієнтів К_i обчислюємо як 2' де (i =0,1, 2,3..).

i=0; 2⁰=1 коефіцієнт ДО₁ – у першій позиції П₁;

i=1; 2¹=2 коефіцієнт ДО₂ – у другій позиції П₂;

i=2; 2²=4 коефіцієнт ДО₃ – у четвертій позиції П₄;

i=3; 2³=8 коефіцієнт ДО₄ – у восьмій позиції П₈;

i=4; 2⁴=16 коефіцієнт ДО₅ – у шістнадцятій позиції П₁₆;

i=5; 2⁵=32 коефіцієнт ДО₆ – у тридцять другій позиції П₃₂;

3. Складемо макет коду Хеммінга й запишемо його в таблицю 2.2.

Таблиця 2.2

Макет коду	Номер позиції коду	Коригуючий код
1 2 3 4 5 6 7	ДО1 ДО2 0 ДО3 1 0 1	0 1 0 0 1 0 1

4. Обчислимо значення контрольних коефіцієнтів ДО₁, ДО₂, ДО₃ за правилами перевірки на парність (табл. №3, додаток 3).

Перевірка 1: П₁+ П₃+ П₅+ П₇= ДО₁+0+1+1, сума чітка при ДО₁=0;

Перевірка 2: П₂+ П₃+ П₆+ П₇= ДО₂+0+0+1, сума чітка при ДО₂=1;

Перевірка 3: П₄+ П₅+ П₆+ П₇= ДО₃+1+0+1, сума чітка при ДО₃=0;

Побудований коригувальний код запишемо в таблиці 4.2

5. Визначення адреси помилки в коригувальному коді. Нехай, у каналі зв'язку під дією перешкод разом 0100101 було прийнято 0100111.

Помилка визначається по тимі ж правилам перевірки на парність (п.4):

Перевірка 1: П₁+ П₃+ П₅+ П₇= 0+0+1+1, сума чітка в молодший розряд адреси помилки, запишемо 0;

Перевірка 2: П₂+ П₃+ П₆+ П₇= 1+0+1+1, сума нечітка - у другий розряд адреси помилки, запишемо 1;

Перевірка 3: П₄+ П₅+ П₆+ П₇= 0+1+1+1, сума нечітка - у третій розряд адреси помилки, запишемо 1.

Тоді номер адреси помилкової позиції 110=6. Отже, помилка в символі 6-й позиції. Помилковий розряд треба змінити на зворотний й одержимо правильну кодову комбінацію.

Завдання вирішене.

Код Хеммінга може бути використаний для побудови коду з виправленням одиночної помилки й виявленням подвійної. Для цього, крім зазначених вище перевірок за контрольним позиціям, проводить ще одну перевірку на парність для всього рядка в цілому. Щоб здійснити таку перевірку, треба до кожного рядка коду додати контрольні символи, записані в додаткової 8-й позиції. Тоді у випадку однієї помилки перевірки за позиціям укажуть номер помилкової позиції, а перевірка на парність - на наявність помилки. Якщо перевірки позиції вкажуть на наявність помилки, а перевірка на парність її не фіксує, значить у кодовій комбінації дві помилки.

ЛІТЕРАТУРА

1. Цимбал В.П. Теорія інформації та кодування. - Київ: «Вища школа», 1992.-

304 с.

2. Фельдбаум А.А., Дудикин А.Д., Мановцев А.Д. Теоретические основы связи и управления. - М.: Енергия, - 1993.- 932с.

3. Темников Ф.Е., Афонин В.А., Дмитриев В.И. Теоретические основы информационной техники. - М.: Енергя, 1990.- 512с.

4. Ватолин Д., Ратушняк А., Смирнов М., Юкин В. Методы сжатия данных. Устройство архиваторов, сжатие изображений и видео. - М.: ДИАЛОГ- МИФИ, 2003.- 384с.

5. Самсонов Б.Б., Плохой Е.М., Филоненков А.И., Кречет Т.В. Теория информации и кодирования. – Ростов н/Д, 2002.- 288с.

6. М. Вернер Основы кодирования. Учебник для ВУЗов. - М.: Техносфера, 2004.- 288с.

7. Котоусов А.С. Теория информации. Учебное пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 2003.- 80с

8. Золотарёв В.В., Овечкин Г.В. Помехоустойчивое кодирование. Методы и алгоритмы: Справочник / Под ред. чл-кор. РАН Ю.Б. Зубарева. - М.: Горячая линия-Телеком, 2004.- 126с.

9. Мазурков М.И. Радіотехнічні системи передачі інформації. Учбова допомога. - Одеса, ОНПУ, - 1994-290с.