Задача 3

ПОДБОР СЕЧЕНИЯ ЛОМАНОГО БРУСА

Условие задачи

Для стального ломаного бруса задана нагрузка. Схемы бруса даны в двух вариантах:

вариант 1 – плоско-пространственный брус в таблице 3.1;

вариант 2 – пространственный брус в таблице 3.2.

требуется подобрать диаметр кольцевого сечения стержней бруса с соотношением внутреннего и наружного диаметров с = d_в/d = 0,5.

Краткие теоретические сведения

Большинство реальных конструкций при расчёте на прочность и жёсткость изображают в виде пространственных рам, которые состоят из жёстко соединенных между собой стержней, создающих пространственный каркас. Нагрузка на рамы может быть представлена распределённой нагрузкой, сосредоточенными силами и моментами, действующими в одной (случай плоско-пространственного бруса) или в разных плоскостях (это пространственный брус).

Раму, имеющую жёсткое защемление, чаще называют пространственным или ломаным брусом. Стержни такой рамы испытывают растяжение-сжатие, кручение, изгиб в одной или обеих плоскостях инерции сечения.

Для заданного ломаного бруса требуется выполнить проектный расчёт – подобрать диаметр кольцевого сечения. Особенность ломаного бруса в том, что в его сечениях возникают изгибающие и крутящий моменты (рис. 4.1, а), значит, он испытывает изгиб с кручением, и нужно применить теории (или гипотезы) прочности. Совместное действие изгиба с кручением встречается и при расчёте деталей машин, валов редуктора и коробок скоростей и др. Здесь в первую очередь необходимо определить расчётные значения изгибающих М_изг и крутящих М_кр моментов.

Для удобства вычислений находят изгибающие моменты, действующие в вертикальной плоскости (моменты М_х) и в горизонтальной (моменты М_у). Если эти моменты сложить, то получим суммарный изгибающий момент М_изг. Для круглого сечения суммарный момент М_изг также лежит в главной плоскости инерции сечения и, следовательно, вызывает обычный плоский изгиб. Величину суммарного изгибающего момента М_изг определяют как модуль суммы векторов .

От моментов М_изг и М_кр в стержне круглого сечения возникают соответственно нормальные σ и касательные τ напряжения (рис. 3.1, б), принимающие наибольшие значения у поверхности вала:

(3.1)

где – осевой и полярный моменты сопротивления.

а б

Рис. 3.1

Если выделить вокруг опасной точки (у поверхности вала) кубический элемент (рис. 3.1, б) и показать на нём действующие напряжения, то по четырём граням этого элемента будут касательные напряжения τ, из которых на двух действуют ещё и нормальные напряжения σ, а две грани свободны от напряжений. Выделенный элемент испытывает плоское напряжённое состояние, для которого условие прочности составляют по теориям (гипотезам) прочности, учитывающим одновременное действие нормальных и касательных напряжений. Для сталей, как пластичного материала, используют III и IV теории прочности.

Чаще применяют IV (энергетическую) теорию прочности, согласно которой условие прочности имеет вид:

(3.2)

Подставив в (3.2) напряжения (3.1), получим условие прочности в удобной форме:

(3.3)

где – эквивалентный момент по IV-ой теории прочности; М_изг и М_кр – соответственно суммарный изгибающий и крутящий моменты в опасном сечении (эти моменты называют расчётными значениями моментов); опасное сечение нужно установить по эпюрам изгибающих и крутящих моментов соответственно; W_x – осевой момент сопротивления кольцевого сечения стержней диаметром d,

(3.4)

Согласно условию задачи требуется подобрать диаметр d сечения, т. е. по условию прочности (3.3) выполнить проектный расчёт.

Рис. 3.2

Составить условие (3.3) можно после построения эпюр изгибающих М_х и М_y и крутящих моментов М_кр, которые позволят установить положение опасного сечения и указать величины расчётных моментов М_х, М_y и М_кр.

Необходимо заметить, что в поперечном сечении пространственного бруса могут возникать продольные силы N, поперечные силы Q_x, Q_y, изгибающие моменты М_х, М_y и крутящий момент М_кр (рис. 3.2). Как показали расчёты, влияние сил N, Q_x, Q_y на условие прочности незначительно, поэтому в условие прочности (3.3) они не входят.

Как известно, для вычисления внутренних усилий используют метод сечений, который можно выполнять по разным методикам. В этой задаче рекомендуем вести вычисление по следующим двум методикам:

методика 1 – расчёт по грузовым участкам. Рассматривают равновесие отсечённой части на каждом грузовом участке;

методика 2 – расчёт по стержням. Брус разрезают на стержни и рассматривают равновесие каждого стержня.

Ниже рассмотрены расчёты по обеим методикам.

Решение задачи 3

Вариант 1. Плоско-пространственный брус.

Плоско-пространственным брусом называют ломаный брус с заделкой, в котором нагрузка располагается в одной плоскости (в вертикальной или в горизонтальной).

Для ломаного бруса (рис. 3.3, а) плоскость нагрузки вертикальна.

Дано: P = 1,6ql, q = 17 кН/м, l = 1,2 м. Все участки бруса длиной l.

1. Построение эпюр внутренних силовых факторов

Расчёт выполняем по первой методике – по грузовым участкам. Брус имеет четыре грузовых участка: номера участков I, II, III, IV проставлены на рис. 4.3, б.

а б	Б
в г

д

Рис. 3.3

Так как ломаный брус имеет на одном конце жёсткую заделку, а второй край свободен (это рама консольного типа), то значения внутренних усилий удобно определять, рассматривая равновесие той части, которая примыкает к свободному краю. В этом случае не нужно находить реакции в жёсткой заделке. Нумерация участков выполнена со стороны свободного конца.

Для каждого участка пользуемся правой системой координат, координатные оси выбираем таким образом, чтобы ось z всегда была продольной. Правой системой координат является та, для которой существует следующее правило направления осей: положительное направление осей x_i и y_i такое, что ось x_i вращается до оси y_i против часовой стрелки при наблюдении с положительного направления оси z_i; ось y_i до оси z_i вращается против часовой стрелки при взгляде с оси x_i и т. д.

Далее рассматриваем равновесие отсечённой части на каждом грузовом участке, указывая координаты z_i текущего сечения на схеме (рис. 3.3, б). Получаем четыре отсечённые части, и для каждой составляем уравнения равновесия, как для пространственной системы:

(3.5)

Напомним правило направлений внутренних усилий:

продольная сила N положительна, если вызывает растяжение;

поперечные силы Q_x и Q_y положительны, если их векторы вращают отсечённую часть по часовой стрелке;

изгибающие моменты M_x и M_y положительны, если растягивают нижние волокна стержня;

крутящий момент M_кр при положительном направлении поворачивает поперечное сечение бруса по часовой стрелке (при взгляде на сечение).

Так как в данной схеме отсутствуют продольные нагрузки, то внут-ренних продольных сил N_i не будет.

Участок I:

Q_yI = + P = 1,6ql,

Участок II:

Q_yII = + P = 1,6ql,

.

Участок III:

Участок IV:

Q_yIV = + P + ql = 1,6ql + ql = 2,6ql;

По этим значениям построим эпюры поперечной силы, изгибающего и крутящего моментов (рис. 4.3, в, г).

Для построения эпюр можно пользоваться и второй методикой – расчётом по стержням. Эта методика рассмотрена ниже.

2. Подбор размеров поперечного сечения стержней

По эпюре изгибающего и крутящего моментов (рис. 3.3, г) установим положение опасного сечения: за опасное сечение принимаем конец последнего участка – заделку, где возникает наибольший изгибающий момент M_x = 4,2ql², M_y = 0, а крутящий момент M_кр = 0,9ql².

Составим условие прочности по (3.3). Подставив указанные моменты и момент сопротивления сечения по (3.4), получим

Отсюда требуемый диаметр сечения

Округлив требуемый диаметр в бóльшую сторону, принимаем d = 18 см.

Вариант 2. Пространственный брус

Пространственным брусом называют ломаный брус, в котором нагрузка имеется и в вертикальной, и в горизонтальной плоскостях. Для пространственного бруса (рис. 3.4, а) дано: q = 15 кН/м, l = 1,7 м, P = 0,8ql.