Задача 2. Определение допускаемой нагрузки

при внецентренном сжатии

Условие задачи

Короткий чугунный стержень сжат продольной силой P, приложенной в точке K сечения. Величина силы неизвестна. Схема поперечного сечения задана в табл. 2.1. Принять допускаемые напряжения: на растяжение [σ_p] = 30 МПа, на сжатие [σ_c] = 120 Мпа.

Требуется: 1. Определить величину допускаемой силы [P].

2. Построить эпюру нормальных напряжений .

3. Построить ядро сечения.

Краткие теоретические основы решения

Внецентренное сжатие (как и внецентренное растяжение) вызывается силами, параллельными оси бруса и приложенными вне центра тяжести его сечения (рис. 2.1). Ограничение длины стержня (рассматривается короткий стержень) связано с тем, что длинный стержень может потерять устойчивость, а это другой вид расчёта.

Внецентренное сжатие представляет собой вид сложного сопротивления, при котором в поперечных сечениях бруса возникают продольная сила N = –P и изгибающие моменты M_y = –P∙x_K, M_x = –P∙y_K, где x_K, y_K –координаты точки приложения сжимающей силы (точки K), и, значит, наблюдается три простых сопротивления: осевое сжатие и чистый изгиб в главных плоскостях инерции сечения. Производя расчёты конструкций в пределах упругих деформаций, внецентренное сжатие можно представлять как комбинацию из чистого косого изгиба и осевого сжатия, т. е. представлять суммой простых сопротивлений. Заметим, что в общем случае воздействия продольной силы, смещённой от центра тяжести его сечения, имеем или внецентренное растяжение, или внецентренное сжатие, но принцип сложения сохраняется.

Определение наибольших напряжений и проверка прочности при этом сложном сопротивлении необходимы при расчёте опор мостов, колонн зданий, фундаментов всевозможных механизмов, станков, элементов машиностроительного и технологического оборудования.

Как известно, от продольной силы и изгибающих моментов в поперечном сечении бруса возникают только нормальные напряжения, поэтому при внецентренном сжатии формулу напряжений для любой точки сечения получают суммированием в виде

(2.1)

где N = –P – сжимающая сила; А – площадь сечения; x, y – координаты точ-ки, в которой определяется напряжение; i_x и i_y – радиусы инерции сечения.

Входящие в формулу (2.1) геометрические характеристики сечения (координаты и радиусы инерции) нужно указывать в главных центральных осях, которые в общем случае обозначают как (u, v). Сечения реальных конструкций часто состоят из нескольких отдельных элементов (или частей), в качестве которых могут быть как простые геометрические фигуры (чаще всего используются прямоугольник, круг, части круга, разные треугольники), так и прокатные профили (двутавр, швеллер, равнополочный и неравнополочный уголок и др.). Такие сечения называют составными. Составные сечения могут быть симметричными и несимметричными. Поэтому при расчётах на внецентренное сжатие необходимо уметь вычислять геометрические характеристики четырёх типов сечений: симметричных и несимметричных сечений из прокатных профилей; симметричных и несимметричных сечений из простых фигур.

Рис. 2.1

Из формулы (2,1) следует, что в сечении могут быть точки, в которых напряжения равны нулю, ̶ эти точки образуют нулевую линию сечения (линия nn на рис. 2.1), которая отсекает отрезки а_x и а_y по осям x и y. Нулевая линия делит сечение на две части: в одной возникают сжимающие напряжения, в другой ̶ растягивающие. Величина этих напряжений растёт линейно: от нуля (на нулевой линии) до максимального значения (в наиболее удалённой точке). Обозначим точки, наиболее удалённые от нулевой линии сечения, как точки А и В (рис. 2.2). Для нахождения этих точек необходимо знать положение нулевой линии в главных осях сечения, которое и фиксируется отрезками а_x и а_y.

Так как наибольшие напряжения будут в точках А и В, где возникают наибольшие сжимающие и наибольшие растягивающие напряжения , то, используя (2.1), запишем условие прочности в виде

(2.2)

где x_А, y_А и x_В, y_В – координаты точек А и В; А – площадь сечения; x_K, y_K – координаты точки приложения сжимающей силы (точки K); и – радиусы инерции сечения. Условие прочности (2.2) позволит определить искомую допускаемую силу [P].

При составлении (2.2) нужно указывать координаты точек и радиусы сечения в главных центральных осях. Для симметричных сечений это центральные оси (x, y), чаще всего горизонтальные и вертикальные. Для несимметричных сечений необходимо вычислить угол наклона главных осей (u, v) и все соответствующие расчёты вести в главных осях (u, v).

Как видно, при решении задачи важную роль имеет вычисление геометрических характеристик сечения в главных осях, поэтому расчёт нужно проводить в такой последовательности:

1. Вначале следует изобразить в масштабе заданное поперечное сечение, на котором проставить необходимые размеры. Разбив сечение на элементы, нужно определить положение центра тяжести всего сечения, вычислить центральные моменты инерции, найти положение главных центральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции всего сечения.

Далее необходимо указать координаты нужных точек сечения, найти отрезки, отсекаемые нулевой линией, которые позволяют провести нулевую линию на сечении и определить точки А и В как наиболее удалённые от нулевой линии и, составив по (2.2) условие прочности, найти из него допускаемую силу .

2. Для найденной силы , зная геометрические характеристики сечения в главных центральных осях, можно вычислить напряжения в характерных точках сечения по формуле (2.1) и построить эпюру напряжений, что и требуется по пункту 2 задачи.

3. При решении пункта 2 задачи нужно помнить понятие «ядро сечения»: это область вокруг центра тяжести сечения, внутри которой можно располагать точку приложения силы Р, не вызывая в сечении напряжений разного знака: так, в случае внецентренного сжатия все напряжения будут только сжимающие, что важно для хрупких материалов, плохо воспринимающих растягивающие напряжения.

Решение задачи 2

Сечение задаётся схемой, которую нужно взять из табл. 2.1. Для решения назначается величина а. Пусть a = 20 мм и сечение, построенное по задаваемой схеме в масштабе, изображено на рис. 2.2. проставим числовые значения характерных размеров

Рис. 2.2

1. Определение допускаемой силы

Имеем симметричное сечение из простых фигур, которое имеет одну ось симметрии. Представим его состоящим из следующих простых фигур: прямоугольника высотой 10 см и шириной 8 см и отверстия в виде прямоугольника высотой 6 см и шириной 2 см. Присвоим им индексы i = 1, 2. Нанесём центры тяжести каждой фигуры С_i и через них проведём собственные оси фигур (x_i, y_i).

Найдём положение центра тяжести всего сечения. Так как заданное сечение имеет ось симметрии ̶ по осям x₁ и x₂, то центр тяжести всего сечения находится на этой оси, и ордината центра тяжести сечения y_С = 0. Вычислим вторую координату (абсциссу x_С) центра тяжести С (x_С; y_С). За вспомогательные оси координат возьмём оси 1-го элемента – оси (x₁, y₁), при этом, так как искомый центр тяжести лежит на оси x₁, она же будет и осью x_С.

Сначала укажем для взятых вспомогательных осей (x₁, y₁) координаты центров тяжести элементов С₁ и С₂:

C₁(x₁, y₁) = C₁(0; 0), C₂(x₂, y₂) = C₂(1; 0).

Теперь вычислим значение x_С по формуле, в которой сумму статических моментов элементов сечения делим на суммарную площадь сечения, причём для удобства расчёта расстояния возьмём в сантиметрах:

см.

Получаем координаты центра тяжести всего сечения

С(x_С; y_С) = С( ; 0).

Поставим эту точку на чертёж сечения (рис. 2.2) и проведём центральные оси (x_С, y_С) всего сечения.

Вычислим главные центральные моменты инерции элементов сечения. Так как сечение симметричное, то его центральные оси (x_С, y_С) есть главные оси, и центральные моменты есть главные центральные моменты инерции всего сечения.

Значения моментов инерции получим с помощью формул, представленных в табл. П.6 Приложения. Необходимо придерживаться правила: для отверстий площадь и моменты инерции считать отрицательными. При вычислении используем формулы для моментов инерции составного сечения:

, .

Получаем:

см⁴;

см⁴.

Найдём отрезки а_x и а_y, отсекаемые нулевой линией на осях x_С и y_С. Для этого потребуются координаты точки приложения сжимающей силы, которые возьмём с чертежа сечения как

Тогда, имея K(x_K; y_K) = K(–3,82; 5), вычислим отрезки:

и

где и – квадраты главных радиусов инерции сечения, определяемые как

и

После этого откладываем найденные отрезки а_х и а_у по соответствующим осям и проводим нейтральную линию nn (рис. 3.2). Нейтральная ось nn показывает, что сжатые волокна находятся в верхней части сечения, а растянутые – в нижней. По чертежу сечения понятно, что наиболее удалёнными от нейтральной оси будут точка K в сжатой и точка В в растянутой зонах. Следовательно, в этих точках и будут соответственно наибольшие сжимающие и наибольшие растягивающие напряжения. Для этих точек по формуле (2.2) составляем условие прочности, в которое подставим координаты точек K и В, площадь сечения F = 68 cм² и квадраты радиусов инерции = 9,28 см² и = 6,01 см². Учитываем, что в этом примере входящая в условие прочности точка А совпадает с точкой K, тогда

х_А = х_K = –3,82 cм; y_А = y_K = 5 cм;

Координаты опасных точек: А(–3,82; 5) = K(–3,82; 5) и В(4,18; –5).

Условие прочности по (2.2) принимает вид

Считая сечение чугунным, подставим заданные допускаемые напряжения: на растяжение [σ_p] = 30 МПа, на сжатие [σ_c] = 120 МПа. Последнее направлено к сечению (по правилу сжимающего напряжения) и поэтому в условии прочности учитываем со знаком «минус». Получим условие прочности, записанное через неизвестную силу Р:

(2.3)

Из этого условия прочности определяем значения возможной силы Р:

Р ≤ ≈ 133 000 Н = 133 кН, Р ≤ ≈ 46 900 Н = 46,9 кН.

Чтобы удовлетворить этим двум условиям, из найденных значений силы выбираем меньшее и принимаем допускаемую силу равной [Р] = 46,9 кН.