Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)=x∙ .

a². Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] .

a³. Запишем равенство: p–φ(p)= =0, его решения: p₀=0. Учитывая p₀ ≡φ(p₀), запишем: y=φ(p₀)∙x+ψ(p₀) → y= 0∙x+0= 0. Пока не получено общее решение уравнения, мы не можем сказать, будет ли это решение особыми.

a⁴. Пусть теперь p–φ(p) ≠ 0. Уравнение для вычисления x: –x = , или – x ∙ =0, или = x уравнение с разделяющимися переменными.

a⁵. Интегрируем уравнение (предварительно разложив дробь : осуществляется по общей формуле разложения, используемой при интегрировании рациональных дробей: см. математический анализ!): = = – –ln , или в виде:

ln = – +C.

a⁶. Если учесть исходное: y=x∙ , то – = – +1. Тогда lny= – –1+C, или =C–lny – общее решение исходного уравнения.

a⁷. Учитывая начальные условия, получим: =3–lny – частное решение, для C=3.

Случай-2.

a⁰. Из условия (1) запишем: y= ∙х. Форма записи уравнения имеет вид уравнения Лагранжа: y=φ(y′)∙x+ψ(y′), где φ(y′)= и ψ(y′)=0.

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)=x∙ .

a². Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] .

a³. Запишем равенство: p–φ(p)= – =0, его решения: p₀=0. Учитывая p₀ ≡φ(p₀), запишем: y=φ(p₀)∙x+ψ(p₀) → y= 0∙x+0= 0. Пока не получено общее решение уравнения, мы не можем сказать, будет ли это решение особыми.

a⁴. Пусть теперь p–φ(p) ≠ 0. Уравнение для вычисления x: –x = , или + x ∙ =0, или = x уравнение с разделяющимися переменными.

a⁵. Интегрируем уравнение (предварительно разложив дробь : осуществляется по общей формуле разложения, используемой при интегрировании рациональных дробей: см. математический анализ!): = – = –ln +C, или в виде: Получаем после несложных преобразований:

ln = +C.

a⁶. Если учесть исходное: y=x∙ , то = –1. Тогда lny= +1+C, или =C+lny – общее решение исходного уравнения.

a⁷. Учитывая начальные условия, получим: =3+lny – частное решение, для C=3.

Замечание: рассмотренная задача была решена в Главе 2 приведением к форме однородного уравнения; результаты получены одинаковые, но на этот раз потребовались дополнительные «изобретательность и терпенье» для достижения «одинаковости».

Ответ: =3±lny – частный интеграл заданного уравнения. Особое решение: y = 0.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Как определяют ДУ 1-го порядка, не разрешённое относительно производной?

2. Основные типы уравнений, не разрешённых относительно производной.

3. Как вводят параметр при решении уравнения y=φ(y′)?

4. Как вводят параметр при решении уравнения x=φ(y′)?

5. Как вводят параметр при решении уравнения F(y,y′)=0?

6. Как вводят параметр при решении уравнения F(x,y′)=0?

7. Что такое «Уравнения Лагранжа»?

8. Привести пример применения ДУ для решения задачи из геометрии.

9. Привести пример применения ДУ для решения задачи из физики.

< * * * * * >