Данное уравнение решаем, применяя алгоритм введения параметра:

a¹. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y= p²+2xp+x².

a². Учитывая, что p есть функция от x, продифференцируем выражение для y по переменной x, сразу заменяя y′=p: p=(p+2x) +2p+2x, или: (p+2x)( +1)=0. (2.1)

a³. Из равенства (2.1) получаем:

▪ p= –2x → dy= –2xdx → y= –x²+С. Подставив функцию y= –x²+С в исходное уравнение, получим требование С=0. Итак, y= –x² есть решение заданного ДУ.

▪ dp= –dx → p= –x+С → dy=(С–x) → y=Сx– . Подставив функцию y= Сx– в исходное уравнение, получим: y=Сx+ (С²–x²).

a⁴. Итак, получено общее решение: y=Сx+ (С²–x²) – семейство парабол. Частное решение: y= –x² не может быть получено из общего и потому является особым.

Ответ: y=Сx+ (С²–x²) – общее решение уравнения. Решение y= –x² – особое решение ДУ.

Пример 3–119: Найти общее решение уравнения: x=y′cosy′.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: x=φ(y′).

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p. Тогда исходное уравнение принимает вид: x==φ(p)=pcosp.

a². Учитывая: y′= , или dy=pdx, запишем dx=φ′(p)dp, где: φ′(p)=cosp–psinp. Получаем уравнение для нахождения y: dy=pφ′(p)dp=p(cosp–psinp)dp.

a³. Вычислим: y= +С= – =J₁–J₂+С. Интеграл J₁ «табличный»: J₁=psinp+cosp. Применяя к J₂ «интегрирование по частям», получим выражение: J₂= –p²cosp+2 = –p²cosp+2J₁. Окончательно:

y= p²cosp–psinp–cosp +С.

a⁴. Система уравнений: определяет общее решение исходного уравнения в параметрической форме.

Ответ: – общее решение в параметрической форме.

Пример 4–121: Найти общее решение уравнения: x= + в параметрической форме.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: x=φ(y,y′). Если заменить y′= , то получится уравнение: x= x′∙ y + x′² . Это уравнение Клеро! Будем считать, что мы этого не заметили, и решим его по общей схеме для уравнений, не разрешенных относительно производной.

Применим общий алгоритм введения параметра:

a¹. Примем y′=p. Тогда исходное уравнение принимает вид: x=φ(y,p)= + , причем p является функцией от y (!) через посредство x.

a². Учитывая: y′= , продифференцируем равенство x=φ(y,p) по y:

= – –2 → (2+py) =0.

a³. Из последнего получим продолжение:

а) =0 → p=С → общее решение: x=Сy+С²;

б) 2+py =0 → 2dx+ydy =0 → 4x+y²=0 – особое решение (из общего решения не получается ни при каком значении С!).

Ответ: x=Сy+С² – общее решение, 4x+y²=0 – особое решение.

Пример 5–123: Найти решение уравнения Лагранжа: y=2xy′ + , применяя метод введения параметра.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: y=φ(y′)∙x+ψ(y′), где φ(y′)=2y′ и ψ(y′)= .

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)= 2xp + .

a². Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] .

a³. Запишем равенство: p–φ(p)=p–2p=–p=0, его решение: p₀=0. Учитывая p₀ ≡φ(p₀), запишем: y=φ(p₀)∙x+ψ(p₀), что невозможно, так как ψ(p₀) не существует.

a⁵. Теперь p–φ(p)≠0. Для нахождения x решим: –x = – линейное уравнение. В нашем случае: –x = , или + x= : линейное уравнение.

Данное линейное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁵. Решение уравнения ищем в виде функции: x=u∙v.

a⁶. Вычислим: – =– =–2ln|p|, и запишем: u= , то есть u = .

a⁸. Вычислим функцию v: v = +С= 2 +С = – +С.

a⁹. Запишем общее решение линейного уравнения для x:

x=u∙v= ∙ = – .

a¹⁰. Если в выражение: y=2xp + подставить найденное выражение для x, то для y получим выражение через параметр p: y= – .

a¹¹. Составляем систему: Это решение уравнения в параметрической форме.

a¹². Пробуем исключить из системы параметр p → F(x,y,C)=0 – общий интеграл. В нашем случае «можно не пробовать»!

Ответ: – решение уравнения в параметрической форме.

Пример 6–125: Найти решение уравнения Лагранжа: y= y′x+ y′lny′, применяя метод введения параметра.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: y=φ(y′)∙x+ψ(y′), где φ(y′)= y′ и ψ(y′)= y′lny′.

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)=x∙ p+ plnp.

a². Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] . В нашем случае это равенство: p– p = [x∙1+lnp+1] , или p=[x+lnp+1] .

a³. Запишем равенство: p–φ(p)=p=0, его решения: p₀=0. запишем: y=φ(p₀)∙x+ψ(p₀), что невозможно, так как ψ(p₀) не существует.

a⁴. Теперь p–φ(p)≠0. Для нахождения x решим: –x = – линейное уравнение. В нашем случае: –x = =0.

Данное линейное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁵. Решение уравнения ищем в виде функции: x=u∙v.

a⁶. Вычислим: – = =ln|p|, и запишем: u= , то есть u =p.

a⁸. Вычислим функцию v: v = +С= +С =– (lnp+2)+С.

a⁹. Запишем общее решение линейного уравнения для x:

x=u∙v=p ∙ =Cp–lnp–2.

a¹⁰. Если в выражение: y=x∙ p+ plnp подставить выражение для x, то для y получим выражение через параметр p: y= Cp²–p.

a¹¹. Составляем систему: Это решение уравнения в параметрической форме.

a¹². Пробуем исключить из системы параметр p → F(x,y,C)=0 – общий интеграл. В нашем случае «можно не пробовать»!

Ответ: – решение уравнения в параметрической форме.

Пример 5–177: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3,1), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого любой ее касательной на оси ординат, равна поднормали.

Р ешение:

В Примере 1–19 получены выражения для указанных в условии: А=(0,y–y′х) и ND =(–yy′,0).

Замечание: В условии задачи допущена некорректность. Необходимо уточнить: ОА=(0,y–y′х), |ОА|=|y–y′х|, |ND|=|yy′|, тогда условие задачи: |ОА|=|ND|.

Необходимо рассмотреть два случая:

▪ Случай-1: y–y′х = –yy′; (1)

▪ Случай-2: y–y′х = yy′. (2)

Случай-1.

a⁰. Из условия (1) запишем: y= ∙х. Форма записи уравнения имеет вид уравнения Лагранжа: y=φ(y′)∙x+ψ(y′), где φ(y′)= и ψ(y′)=0.