Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)=x∙ .

a². Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] .

a³. Запишем равенство: p–φ(p)= =0, его решения: p₀=–1 и p₀=1. Учитывая p₀ ≡φ(p₀), запишем: а) для p₀=–1: y=φ(p₀)∙x+ψ(p₀) → y=–1∙x+0=–x;

б) для p₀=1: y=φ(p₀)∙x+ψ(p₀) → y=1∙x+0= х.

Пока не получено общее решение уравнения, мы не можем сказать, будут эти решения особыми, или нет.

a⁴. Пусть теперь p–φ(p) ≠ 0. Запишем уравнение для вычисления x:

–x = , или – x = , или = –(x+1) .

a⁵. Теперь p–φ(p)≠0. Для нахождения x решим: –x = – линейное уравнение. В нашем случае: –x ∙ =0, или = x : уравнение с разделяющимися переменными → p = Cx.

a⁶. Cистема: легко приводится к виду → y= Cx²+ – общий интеграл заданного уравнения.

Ответ: y= Cx²+ – общий интеграл заданного уравнения. Особое решение: y = ±x.

Пример 6–124: Найти решение уравнения Лагранжа: y=x(y′)²+(y′)³, применяя метод введения параметра.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: y=φ(y′)∙x+ψ(y′), где φ(y′)=(y′)² и ψ(y′)=(y′)³.

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)=x∙p²+p³.

a². Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] . В нашем случае это равенство: p–p²=[x∙2p+3p] .

a³. Запишем равенство: p–φ(p)=p–p²=0, его решения: p₀=0 и p₀=1. Учитывая p₀ ≡φ(p₀), запишем: а) для p₀=0: y=φ(p₀)∙x+ψ(p₀) → y=0∙x+0=0;

б) для p₀=1: y=φ(p₀)∙x+ψ(p₀) → y=1∙x+1= х+1.

Пока не получено общее решение уравнения, мы не можем сказать, будут эти решения особыми, или нет.

a⁴. Теперь p–φ(p)≠0. Для нахождения x решим: –x = – линейное уравнение. В нашем случае: –x = =0, или + x=– .

Данное линейное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁵. Решение уравнения ищем в виде функции: x=u∙v.

a⁶. Вычислим: – =– =–2ln|p–1|, и запишем: u= , то есть u = .

a⁸. Вычислим функцию v: v = +С= – +С = p²– p³+С.

a⁹. Запишем общее решение линейного уравнения для x:

x=u∙v= ∙ = ∙ + .

Замечание: если в последнем выражении в первой дроби выполнить операцию «выделение целой части», то выражение существенно упростится: x= –p– + .

a¹⁰. Если в выражение: y=x∙p²+p³ подставить выражение для x, то для y получим выражение через параметр p: y= – p²+ .

a¹¹. Составляем систему: Это решение уравнения в параметрической форме.

a¹². Пробуем исключить из системы параметр p → F(x,y,C)=0 – общий интеграл. В нашем случае «можно не пробовать»!

Ответ: – решение уравнения в параметрической форме. Особые решения: y=0; y =x+1.

* * * * * * * * * *

Домашнее задание

Дома

Л-3

гл.10: № 115, 117, 119, 121, 123,125, 177.

7

Пример 1–115: Найти общее решение уравнения: y=y′ в параметрической форме.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: y=φ(y′).

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p. Тогда исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)=p .

a². Учитывая: y′= , запишем dy=φ′(p)dp, где: φ′(p)= + = . Получаем уравнение для нахождения x: dx= dp=( + )dp.

a³. Запишем выражение для x: x= + +С=J₁+J₂+С. Вычислим интегралы: J₁= =[Замена:p²=t]= =[Замена: =u]= =lnp–ln(1+ ),

J₂=2 . Окончательно: x=2 +lnp–ln(1+ )+С.

a³. Составляем систему: – общее решение уравнения в параметрической форме.

a⁴. Пробуем исключить из системы параметр p → F(x,y,C)=0 – общий интеграл. В нашем случае «можно не пробовать»!

Ответ: – общее решение в параметрической форме. Решение y=0 – особое.

Пример 2–117: Найти общее решение уравнения: y= +2xy′+x².

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: y=F(x,y′): не отвечает ни одной из рассмотренных.