ЗАНЯТИЕ 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
Ауд. |
Л-3 |
гл.10: № 67, 68, 74, 78, 83, 86, 92, 95,179, 193. |
10 |
☺ ☻ ☺
Пример
1–67:
Решить дифференциальное уравнение:
y′+2xy=x
. (1)
Решение:
1). Приводим уравнение к «стандартной форме»: y′+P(x)∙y=Q(x).
2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a0. Решение уравнения ищем в виде: функции y=u∙v.
a1.
Вычислим интеграл: –
и запишем: u=
.
a2.
Вычислим функцию v: v =
+С.
a3.
Запишем общее решение уравнения: y=u∙v=
∙
.
3). В нашем случае: уравнение линейное, имеет «стандартную форму»: y′+P(x)∙y=Q(x)!
a0. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.
a1.
Вычислим интеграл: –
=–2
=–
x2 → u=
.
a2.
Вычислим функцию v: v =
+С=
+С
=
=
+С;
a3.
Запишем общее решение уравнения: y=u∙v=
∙
.
Ответ: y=u∙v= ∙ – общее решение.
Пример
2–68:
Решить дифференциальное уравнение: y′
=3
+x.
Решение:
1). Приводим уравнение к «стандартной форме»: y′–3 ∙y=x.
2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a0. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.
a1.
Вычислим интеграл: –
=3
=3ln|x|
→ u=
=x3.
Замечание: в последней записи выражения для u знак модуля опущен, так как от функции u(x) требуется только обеспечить выполнение равенства: u′+ P(x)∙u=0 (см. вывод формулы для решения y = u(x)∙v(x)!).
a2.
Вычислим функцию v: v =
+С=
+С
=–
+С.
a3.
Запишем общее решение уравнения:
y=u∙v=x3∙
=Сx3–
x2.
Ответ: y=u∙v= Сx3– x2– общее решение.
Пример
3–74:
Решить дифференциальное уравнение: y′
=
.
Решение:
1). Приводим
уравнение к «стандартной форме»: x′–
∙x=
y2.
Переход от записи решения в виде y=y(x)
к записи x=x(y)
подсказан исходным выражением вполне
выразительно!
2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a0. Решение уравнения ищем в виде функции: x=u(y)∙v(y).
a1.
Вычислим интеграл: –
=
=ln|y|
→ u=
=y.
Замечание: в последней записи выражения для u знак модуля опущен (см. Пример 2-68).
a2.
Вычислим функцию v: v =
+С=
+С
=
y2+С.
a3.
Запишем общее решение уравнения: x=u∙v=
y ∙
=Сy+
y3.
Ответ: x=u∙v= Сy+ y3 – общее решение. Из исходного уравнения также: y=0 – решение.
Пример 4–78: Решить дифференциальное уравнение: xy′+x2+xy=y.
Решение:
1). Приводим
уравнение к «стандартной форме»: y′+
∙y
= –x.
Переход от записи решения в виде y=y(x)
к записи x=x(y)
подсказан исходным выражением вполне
выразительно!
2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a0. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u(x)∙v(x).
a1.
Вычислим интеграл: –
=
=ln|x|–
x → u=
=xe–x.
Замечание: в последней записи выражения для u знак модуля опущен (см. Пример 2-68).
a2.
Вычислим функцию v: v =
+С=
+С
=–ex+С.
a3.
Запишем общее решение уравнения: y=u∙v=
xe–x∙
=x∙(Сe–x–1).
Ответ: y=u∙v= x∙(Сe–x–1) – общее решение.
Пример
5–83:
Решить дифференциальное уравнение: y′
+y∙tgx
=
,
y(0)=0.
Решение:
1). Уравнение записано в «стандартной форме».
2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a0. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.
a1.
Вычислим интеграл: –
=–
=ln|cosx|
→ u=
=
cosx.
Замечание: в последней записи выражения для u знак модуля опущен (см. Пример 2-68).
a2.
Вычислим функцию v: v =
+С=
+С
=tgx+С.
a3.
Запишем общее решение уравнения: y=u∙v=
cosx ∙
=
sinx+Сcosx.
a4. Найдем частное решение уравнения: 0= sin0+Сcos0 → С=0; y= sinx– частное решение уравнения для начальных условий: y(0)=0.
Ответ: y= sinx+Сcosx – общее решение; y= sinx – частное решение.
Пример
6–86:
Решить дифференциальное уравнение:
y′+4xy=2x∙
∙
. (1)
Решение:
1). Имеем уравнение (1) Бернулли в «стандартной форме».