2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁰. Примем: z = y^–n+1;

a¹. Запишем преобразованное уравнение Бернулли: z′+(–n+1)P(x)∙ z=(–n+1)Q(x), или (для удобства!): z′+P₁(x)∙z=Q₁ (x);

a². Решение уравнения ищем в виде функции: z=u(x)∙v(x).

a³. Вычислим интеграл: – → u= .

a⁴. Вычислим функцию v: v = +С.

a⁵. Запишем общее решение уравнения: z=u∙v= ∙ .

3). В нашем случае: уравнение Бернулли в «стандартной форме», для n= .

a⁰. Примем: z = y^–n+1, где (–n+1)= ; то есть: z= .

a¹. Запишем преобразованное уравнение Бернулли: z′+ 4x∙z= 2x∙ , или:

z′+2x∙z= x∙ . (2)

a². Решение уравнения ищем в виде функции: z=u(x)∙v(x).

a³. Вычислим интеграл: – =– =–x² → u= = .

a⁴. Вычислим функцию v: v = +С= x²+С.

a⁵. Запишем общее решение уравнения для (2): z=u∙v= ∙ . (3)

a⁶. Учитывая: z= , запишем общее решение для (1): = ∙ .

Ответ: = ∙ – общее решение.

Пример 7–92: Решить дифференциальное уравнение: xy′+y= 2x²∙ ylny ∙ y′. (1)

Решение:

1). Очевидно: (1) не является уравнением Бернулли для y, y′. Это подсказывает необходимость перехода к функции x=x(y): x′+ x= 2lny∙x². (2)

2). Получили уравнение (2) Бернулли в «стандартной форме», для n=2.

a⁰. Примем: z = x^–n+1, где (–n+1)= –1; то есть: z= x^–1.

a¹. Запишем преобразованное уравнение Бернулли: z′– z= –2lny. (3)

a². Решение уравнения ищем в виде функции: z=u(y)∙v(y);

a³. Вычислим интеграл: – = =lny → u= = y.

Замечание: в последней записи выражения для u знак модуля опущен, так как исходное выражение предполагает y >0.

a⁴. Вычислим функцию v: v = = –2 +С= – ln²y +С;

a⁵. Запишем общее решение уравнения для (3): z=u∙v= y∙ . (4)

a⁶. Учитывая: z= x^–1, запишем общее решение для (1): xy =1.

Ответ: xy =1 – общее решение уравнения.

Пример 8–95: Решить дифференциальное уравнение: ydx+ dy =0, y =1. (1)

Решение:

1). Очевидно: (1) не является уравнением Бернулли для y, y′. Это подсказывает необходимость перехода к функции x=x(y): x′+ x= x³. (2)

3). Получили уравнение (2) Бернулли в «стандартной форме», для n=3.

a⁰. Примем: z = x^–n+1, где (–n+1)= –2; то есть: z= x^–2.

a¹. Запишем преобразованное уравнение Бернулли: z′–2 z= –1. (3)

a². Решение уравнения ищем в виде функци: z=u(y)∙v(y);

a³. Вычислим интеграл: – =2 =2ln|y| → u= = y².

Замечание: в последней записи выражения для u знак модуля опущен (см. Пример 2-68). В то же время есть возможность записать: 2ln|y| = lny².

a⁴. Вычислим функцию v: v = = – +С= +С.

a⁵. Запишем общее решение уравнения для (3): z=u∙v=y²∙ . (4)

a⁶. Учитывая: z=x^–2, запишем общее решение для (1): x²(y + Сy²)=1.

a⁷. Найдем частное решение для (1): так как (1 + С1²)=1 → С=3, то частное решение имеет вид: x²(y +3y²)=1.

Ответ: x²(y + Сy²)=1 – общее решение уравнения; частное решение: x²(y +3y²)=1.

П ример 9–179: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,0), если площадь трапеции, образованной касательной в этой точке, осями координат и ординатой точки касания, постоянна и равна .

Решение:

В Примере 1–19 получено выражение: отрезка А=OА=(0,y–y′х), – отсекаемого касательной на оси ординат.

1). Так как площадь трапеции вычисляется по формуле: S= h, где a и b – стороны оснований, h – высота трапеции, условие задачи запишем так:

▪ (ОА+ND)∙ОD=2S=3 → (y–y′х+y)∙х =3; (1)

▪ (ОА+ND)∙ОD=2S=3 → (y–y′х+y)∙х =–3. (2)

Случай-1.

2). Запишем (1), в виде: y′– y=– – «стандартная форма» линейного уравнения.

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – =2 =2ln|x| → u=x².

a². Вычислим функцию v: v = +С=–3 +С =x^–3+С;

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v= x²∙( x^–3+С)= +Cx².

a⁴. Запишем частное решение уравнения: y= –x², при С=–1.

Случай-2.

3). Запишем (2), в виде: y′– y= – «стандартная форма» линейного уравнения.

a⁰. Решение уравнения ищем в виде: функцию y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – =2 =2ln|x| → u=x².

a². Вычислим функцию v: v= +С= 3 +С =–x^–3+С;

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v=x²∙(–x^–3+С)=Cx²– . Это решение «симметрично относительно оси ОХ» решению, полученному в Случае-1.

a⁴. Запишем частное решение уравнения: y= x²– , при С=1.

4). Построим эскиз графика функции y= –x², используя известные графики для гиперболы и параболы и применяя понятие «сумма функций» (см. рисунок).

Ответ: для Случая-1: y= –x² – частное решение ДУ; для Случая-2: y= x²– – частное решение ДУ.

Замечание: Если не заметить присутствия двух различных вариантов решения рассмотренной задачи, то «зеркальное решение» будет потеряно. В задачах физики это дополнительно подсказывает важность понимания начальных условий исследуемого процесса: возможно исследователю потребуются дополнительные эксперименты для уточнения особенностей протекания процесса.

Пример 10–193: Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1.5 м/с, скорость её через 4 секунды равна 1м/с. Когда скорость уменьшится до 1 см/с? Какой путь пройдет лодка до остановки?

Решение:

Для решения задачи необходимо уточнить: система координат, используемая при решении задачи, связана с берегом реки и считается инерциальной. Это значит, что второй закон Ньютона в этой системе выполняется и можно записать дифференциальное уравнение:

m∙v′=– k∙v, (1)

г де m – масса лодки с гребцом; k – коэффициент торможения лодки из-за сопротивления воды. Движение лодки происходит по инерции (гребец «сушит весла»!).

Обозначим: – =μ и запишем уравнение в виде, удобном для интегрирования:

= μ∙dt. (2)

Интегрируя (2), получаем: v =v₀∙e^μt, где v₀=1.5 м/с. В задаче не определены ни движущаяся масса, ни коэффициент трения лодки о воду. Но мы имеем дополнительные сведения (легко устанавливается экспериментально!), которые позволят полностью определить закон движения лодки.

Из условия: для t=4c имеем v = 1 [м/с] → 1=1.5∙ e^μ4. Отсюда: (e^μ)⁴= ≈ 0.67 и e^μ ≈ =λ.

Итак, закон движения: v =v₀∙λ^t. У нас v =1.5∙λ^t. После этого можем определить время, когда скорость лодки уменьшилась до 1 см/с: 0.01=1.5∙λ^t, откуда → t ≈ 50с.

Для ответа на второй вопрос необходимо проинтегрировать уравнение: dx=1.5∙λ^tdt. Примем, что начальное положение лодки: x₀=0. Тогда x=1.5∙ =1.5∙lnλ(0–λ^t) ≈ 15м.

Замечание: при вычислении несобственного интеграла учтено, что для верхнего предела значение этого интеграла равно нулю!

Ответ: Время: t ≈ 50с. До полной остановки лодка переместится на расстояние x ≈ 15м (это будет проистекать бесконечно долго!).

* * * * * * * * * *