Лебедев КММФЯ / Лебедев_4курс / 2_Finity_pits

Электрон в одномерной полубесконечной потенциальной яме

In [1]: using Plots, Roots

In [2]: plot([2,2], [2,4], line = (:arrow, 3, :black), annotations=(2.02, 4, text("U(x)", :left)) ) plot!([1.75,3], [2,2], line = (:arrow, 1, :black), annotations=(3, 1.92, text("x", :down))) plot!([2,2.4,2.4,3], [2,2,3,3], line = ( 3, :black), leg=false, ticks=nothing, border=:none )

annotate!([(2.4, 3.05, text("U0", :right)), (2.4, 1.92, text("a", :center)),

(2, 1.92, text("0", :center)), (2.2, 2.5, text("I")), (2.6, 2.5, text("II")) ])

Out[2]:

U(x)

U0

I	II

0	a	x
Стационарное уравнение Шрёдингера		для данной системы удобно разбить на выражения для областей I и II (Помним о линейности и
суперпозиции):

,

,

По условию

,

. Далее нужно найти допустимые значения Е, для этого используем условия сшивки

(непрерывность ВФ и их производных в точке х=а):

Не вдаваясь в анализ можно сразу кинуться решать эту систему относительно Е

Вы ведь хорошо разбираетесь в численых методах решения трансцендентных уравнений? Если нет, то идём дальше. Делим первое уравнение на второе, и стараемся прийти к чему-то проще тангенса, что можно было бы решить графически:

Это уравнение можно решить графически относительно					. Используя условие	, получаем ограничение на аргумент
		. Также пригодится условие существования хотябы одного энергетического уровня:						.
Пересечения будут происходить до					. A находим из условий нормировки, С - из условий на границе.

In [3]: #const ħ = 6.5821e-16 # eV*s const ħ = 1.0546e-34 # J*s const m = 9.1094e-31 # kg const q = 1.6022e-19 # Kl

k(E) = sqrt(2m*E*q)/ħ # 1/m

Out[3]: k (generic function with 1 method)

In [4]: function nrg(U0, a = 10e-10)

γ = k(U0)*a # безразмерная ka = [0:0.005γ:γ;]

# ищем точки пересечения

solup = fzeros(x->sin(x)-x/γ, 0, γ) # up soldn = fzeros(x->sin(x)+x/γ, 0, γ) # down solns = sort( [solup; soldn] )

# отсеиваем неудовлетворяющие ограничениям: function conds(x)

N = γ/π

ret = false for n = 0:N

ret |= (0.5π+π*n < x < π+π*n) # хитро?

end

return ret

end

En = filter(conds, solns)

plot(sin, ka, line = (3) ) plot!(x-> x/γ, ka, line = (3) ) plot!(x-> -x/γ, ka, line = (3) )

scatter!( sin, solns, marker=(20, 0.2, :orange) ) scatter!( sin, En, marker=(10, 0.8, :red), legend = false ) title!("Allowed energy values")

return ħ^2 / (2m*q*a^2) * En.^2

end

Out[4]: nrg (generic function with 2 methods)

In [5]: E = nrg(5, 20e-10) # 5 эВ, 20 Ангстрем xaxis!("ka")

Out[5]:

Allowed energy values

	1.0
	0.5
	0.0
	-0.5
	-1.0
	0	5	10	15		20
			ka
In [6]:	# красные - которые подходят по условиям
	E # разрешенные уровни энергии
Out[6]: 7-element Array{Float64,1}:
	0.08629114345993612
	0.34490577574082765
	0.7750040738564451
	1.3749315708956715
	2.141619844004133
	3.0688658909941755
	4.140063639290345
In [7]:	function ψ(n = 1, U0 = 1, a = 10e-10) # номер энерг-го ур-ня, ширина ямы
	x1 = [0:0.01a:a;]
	x2 = [a:0.01a:1.5a;]
	k1 = k( E[n] ) # 1/m
	k2 = k( U0-E[n] )
	A = sqrt( 4k1/(2k1*a - sin(2k1*a)) )
	#C = sqrt(2k2) * exp(a*k2) # ??? из нормировки
	C = A*sin(k1*a)/exp(-k2*a)
	ψ1(x) = A*sin( k1*x )
	ψ2(x) = C*exp(-k2*x )
	plot(ψ1, x1, line = (3), legend = false )
	plot!(ψ2, x2, line = (3), xaxis = ("x, A") )
	vline!([a])
	title!("E = $(round(E[n], digits = 3)) eV")
	end
Out[7]: ψ (generic function with 4 methods)
In [8]:	ψ(3, 5, 20e-10) # условия ставить те же
Out[8]:			E = 0.775 eV
	3×104
	2×104
	1×104
	0
	- 1×104
	- 2×104
	- 3×104
	0	1×10	- 9	2×10	- 9	3×10	- 9
			x, A

Электрон в одномерной потенциальной яме конечной глубины

In [9]: plot([0,0], [-1,4], line = (:arrow, 1, :black), annotations=(0.2, 4, text("U(x)", :left)) ) plot!([-4,4], [0,0], line = (:arrow, 1, :black), annotations=(4, 0.2, text("x", :up))) plot!([-4,-2,-2,2,2,4 ], [3,3,0,0,3,3 ], line = ( 3, :black), leg=false, ticks=nothing, border=:none )

annotate!([(2, 3.2, text("U0", :up)), (2, -0.2, text("a/2", :center)), (-2, -0.2, text("-a/2", :center)) ])

Out[9]:

U(x)

U0

x

-a/2

a/2

Как и раньше, расписываем стационарное уравнение Шрёдингера

для каждой области:

,

,

из условия ограничения на бесконечности.

Используем условие непрерывности волновой функции и её производной на границах потенциальной ямы:

изначения эффективной массы электрона в веществе А и В.

Система имеет нетривиальные решения при равенстве нулю детерминанта:

In [10]: using Reduce, Latexify

Reduce (Free CSL version, revision 4534), 05-Apr-18 ...

In [ ]: using ForceImport

@force using Reduce.Algebra

In [91]: function ltx(formula)

l = latexify(formula)

res = replace(l, r"\\euler"=>"e") latexstring(res)

end

Out[91]: ltx (generic function with 1 method)

In [116]: a1 = :( exp(β*x) ) a2 = :( exp(i*γ*x) )

b2 = :( exp(-i*γ*x) ) b3 = :( exp(-β*x) )

da1 = df(a1, :x)/:m_b da2 = df(a2, :x)/:m_a db2 = df(b2, :x)/:m_a db3 = df(b3, :x)/:m_b

Out[116]: :(-β / ( ^ (x * β) * m_b))

In [117]: M = [

a1 -a2 -b2 0 da1 -da2 -db2 0 0 a2 b2 -b3

0 da2 db2 -db3

]

ltx(M)

Out[117]:

In [165]: trnsf(s, m) = Algebra.sub((:(x= $s*a/2),:(y=y)),m)

M2 = [ i==1||i==2 ? trnsf(-1, M[i,j]) : trnsf(1, M[i,j]) for i=1:4, j=1:4 ]

Out[165]: 4×4 Array{Any,2}:

:(1 / ^ ((a * β) / 2))

… 0

:(β / ( ^ ((a * β) / 2) * m_b))

0

0

:(-1 / ^ ((a * β) / 2))

0

:(β / ( ^ ((a * β) / 2) * m_b))

In [166]: ltx(M2)

Out[166]:

In [167]: M2 |> det |> ltx

Out[167]:

In [168]: dM2 = det(M2)

Out[168]: :((((m_a ^ 2 * β ^ 2 - m_b ^ 2 * γ ^ 2) - 2 * im * m_a * m_b * β * γ) - ^ (2 * a * im * γ) * ((m_a ^ 2 * β ^ 2 - m_b ^ 2 * γ ^ 2) + 2 * im * m_a * m_b * β * γ)) / ( ^ (a * im * γ + a * β) * m_a ^ 2 * m_b ^ 2))

In [175]: Expr(:function,:(fun(γ, β, a, m_a, m_b)), dM2 ) |> eval

Out[175]: fun (generic function with 2 methods)

In [12]: # соберется такая функция

fun(γ, β, a, m_a, m_b) = (((m_a ^ 2 * β ^ 2 - m_b ^ 2 * γ ^ 2) - 2 * im * m_a * m_b * β * γ) -

^ (2 * a * im * γ) * ((m_a ^ 2 * β ^ 2 - m_b ^ 2 * γ ^ 2) + 2 * im * m_a * m_b * β * γ)) / ( ^ (a * im * γ + a * β) * m_a ^ 2 * m_b ^ 2)

Out[12]: fun (generic function with 1 method)

In [13]: function detE(E; U0 = 1, a = 10e-10) k1 = k( E )

k2 = k( U0-E )

fun(k1, k2, a, m, m) |> abs

end

Out[13]: detE (generic function with 1 method)

Решения находим графически и уточняем с помощью fzero

In [14]: plot(detE, [0:0.001:0.75], yaxis=("Y", (0, 1e78) ) )

Out[14]: 1×1078

y1

8×1077

6×1077

Y

4×1077

2×1077

0

0.0

0.2

0.4

0.6

In [ ]: fzero(detE, 0.2 ) # xn = 0.19076547740519453

Рассмотрим иной путь решения. Система ВФ может быть представлена в виде:

Из условий симметрии задачу можно разбить на две части (

). Для четных решений синус, иначе косинус (или наоборот?)

In [15]: function nrg3b(a = 10e-10, U0 = 1)

e = [0:0.01:U0;] E1(E) = tan(0.5a*k(E))

Sq1(E) = sqrt(U0/E - 1.)

E2(E) = cot(0.5a*k(E))

Sq2(E) = -sqrt(U0/E - 1.)

plot(E1, e)

p1 = plot!(Sq1, e) plot(E2, e)

p2 = plot!(Sq2, e) plot(p1, p2)

end

Out[15]: nrg3b (generic function with 3 methods)

In [16]:	nrg3b()
Out[16]:
					y1	2.5				y1
					y2					y2
	50
						0.0
	0
						-2.5
	-50					-5.0
						-7.5
	-100
						-10.0
	0.00	0.25	0.50	0.75	1.00	0.00	0.25	0.50	0.75	1.00

In [121]:	fzero(E->tan(5e-10*k(E)) - sqrt(1. /E - 1.), 0.25 ),
	fzero(E->cot(5e-10*k(E)) + sqrt(1. /E - 1.), 0.75 )
Out[121]: (0.19076547740519442, 0.7027847578025961)
In [17]:	function		Ψ(En, a = 10e-10, U0 = 1)
	k1	=	k(En)
	k2	=	k(U0-En)
	A1	=	1.	# sqrt(k2)*exp(-0.25a*k2)
	A2	=	0.5A1*(1. - im*k2/k1)*exp( 0.5a*(im*k1-k2) )
	B2	=	0.5A1*(1. + im*k2/k1)*exp(-0.5a*(im*k1+k2) )
	B3	=	0.5A1*( (1. - im*k2/k1)*exp( a*im*k1 ) + (1. + im*k2/k1)*exp( -a*im*k1 ) )
	x1	=	[-a:0.01a:-0.5a;]
	x2	=	[-0.5a:0.01a:0.5a;]
	x3	=	[0.5a:0.01a:a;]
	ψ1(x) =			A1*exp(k2*x) |> abs2
	ψ2(x) =			A2*exp(im*k1*x) + B2*exp(-im*k1*x) |> abs2
	ψ3(x) =			B3*exp(-k2*x) |> abs2

plot(ψ1, x1, line = (3) ) plot!(ψ2, x2, line = (3) )

plot!(ψ3, x3, line = (3), xaxis = ("x, A") ) vline!([-0.5a, 0.5a], legend = false) title!("Location probability")

end

Out[17]: Ψ (generic function with 3 methods)

In [18]: Ψ(0.190765)

Out[18]:

Location probability

0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
- 1×10	- 9	- 5×10	- 10	0	5×10	- 10	1×10	- 9
				x, A

In [19]: Ψ(0.70278)

Out[19]:

Location probability

0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
- 1×10	- 9	- 5×10	- 10	0	5×10	- 10	1×10	- 9
				x, A

То есть при определенных значениях энергии частица не будет находится в центре ямы из-за интерференции ВФ самой с собой. Жуть...