2.3. Временная стоимость денег, простые и сложные проценты, аннуитеты

Ставка процентов – величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Наращение первоначальной суммы долга – увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов и доходов.

Множитель наращения – величина, показывающая во сколько раз возрос первоначальный капитал.

Период начисления – промежуток времени, за который начисляются проценты.

Интервал начисления – минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Существуют два способа начисления процентов.

Декурсивный способ – проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Декурсивная процентная ставка представляет собой сумму начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся в начале интервала, в процентном отношении.

Антисипативный (предварительный) способ – проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращения суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода за интервал к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. Такая процентная ставка называется учетной.

Простые ставки применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления. При декурсивном способе простые ставки применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления и составляет срок менее одного года, или когда после каждого интервала кредитору выплачиваются проценты.

Если обозначить будущую сумму S, а современную (или первоначальную) P, то I = S – P (1). Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в десятичных дробях или %, и определяется делением процентов на первоначальную сумму: i=I/P

Кроме процентной существует учетная ставка d (другое название – ставка дисконта), величина которой определяется по формуле:

S-P=D, P=S (2)

где D – сумма дисконта.

Однако продолжительность ссуды (или другой финансовой операции, связанной с начислением процентов) n необязательно должна равняться году или целому числу лет. Если обозначить продолжительность года в днях буквой K (этот показатель называется временная база), а количество дней пользования ссудой t, то использованное в формулах (3) и (4) обозначение количества полных лет n можно будет выразить как t/K. Подставив это выражение в (1) и (2), получим:

для декурсивных процентов: S=P(1+ i) (3)

для антисипативных процентов: S=P (4)

Если после очередного интервала начисления доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяется формула сложных процентов.

Сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i).

P, P * (1 + i), P * (1 + i)², P * (1 + i)³ , …, P * (1 + i)ⁿ,

где число лет ссуды n меньше числа членов прогрессии k на 1 (n = k – 1).

Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле:

S=P*(1+I) (5)

где (1 + i) ⁿ – множитель наращения декурсивных сложных процентов.

Так же как и в случае простых процентов возможно применение сложной учетной ставки для начисления процентов (антисипативный метод):

S=P* 1/(1-d)^n (6)

где 1/(1 – d)^n – множитель наращения сложных антисипативных процентов.

Формула наращения по сложным процентам при начислении их m раз в году имеет вид:

S=P*(1+ )^m*n (7)

При начислении антисипативных сложных процентов, номинальная учетная ставка обозначается буквой f, а формула наращения принимает вид:

S= (8)

Наиболее щепетильные кредиторы, принимая во внимание большую эффективность простых процентов на коротких отрезках времени, используют смешанный порядок начисления процентов в случае, когда срок операции (ссуды) не равен целому числу лет: сложные проценты начисляются на период, измеренный целыми годами, а проценты за дробную часть срока начисляются по простой процентной ставке.

S=P*(1+i)^a+ (9)

Непрерывная процентная ставка (очевидно, что при непрерывном начислении речь может идти только о сложных процентах) обозначается буквой δ (читается «дельта»), часто этот показатель называют «сила роста». Формула наращения по непрерывной процентной ставке имеет вид:

S=P*e^δn (10)

где e – основание натурального логарифма (≈2,71828...),

e^n – множитель наращения непрерывных процентов.

Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчитать срок удвоения первоначальной суммы для каждой конкретной процентной ставки.

Правило «72»:

n = 72 / i %.

Правило «69»:

n = (69 / i %) + 0,35.

Данные правила дают достаточно точный результат при небольших значениях i, т.е. до i% = 100%.

Финансовые потоки, формируемые под воздействием изменения стоимости денег во времени, имееют свои закономерности и тягу к упорядоченности. В финансовом анализе для обозначения денежных потоков в наиболее общем смысле используется термин рента. Каждый отдельный рентный платеж называют членом ренты. Частным случаем ренты является финансовая рента или аннуитет – такой поток платежей, все члены которого равны друг другу, так же как и интервалы времени между ними.

Рекомендуемая литература:

1. Беренс В., Хавранек П.М. Руководство по оценке эффективности инвестиций. – М.: АОЗТ «Интерэксперт»; «ИНФРА - М», 1995

2. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент (т. 1, 2). – СПб.: Экономическая школа, 1998

3. Ващенко Т.В. Математика финансового менеджмента. – М.: Перспектива, 1996

4. Количественные методы финансового анализа. – М.: ИНФРА-М, 1996. – 336 с.

5. Кочович Е. Финансовая математика. – М.: Финансы и статистика, 1994. – 268 с.

6. Мертенс А. Инвестиции: Курс лекций, - Киев: Киевское инвестиционное агентство, 1997

7. Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. – М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999

8. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. – М.: «Дело Лтд», 1995. – 348 с.

Примеры решения задач:

Задача 1

Предоставлена ссуда в размере 5 млн руб. с погашением через 180 дней под 60% годовых (по схеме простых ссудных процентов). Рассчитать сумму к погашению S.

Решение

Согласно формуле начисления простых процентов:

S = 5*(1+(180 / 365)*0,6) = 6,48 млн руб.

Задача 2

Векселедержатель предъявил банку для учета вексель на сумму 5 млн руб. со сроком погашения 28.09.1998 г. Вексель предъявлен 13.09.1998 г. Банк согласен учесть вексель с дисконтом в 75% годовых. Тогда сумму, которую векселедержатель может получить от банка, требуется определить.

Решение

Сумма Р находится по формуле учета стоимости векселя к погашению – банковский учет:

P = 5 * (1- (15 / 365) * 0,75) = 4,85 млн руб.

Задача 3

Предприниматель может получить ссуду: а) либо на условиях ежеквартального начисления процентов из расчета 75% годовых; б) либо на условиях полугодового начисления процентов из расчета 80% годовых. Какой вариант более предпочтителен?

Решение

Относительные расходы предпринимателем по обслуживанию ссуды могут быть определены с помощью расчета эффективной годовой процентной ставки: чем она выше, тем больше уровень расходов:

а) ic^ef = (1+0,75 / 4)⁴-1 = 0,99 или 99%,

б) ic^ef = (1+0,80/2)² - 1 = 0,96 или 96%.

Таким образом, вариант (б) является более предпочтительным для предпринимателя.

Задания к разделу 3:

Задача 3.1

Финансовый менеджер должен принять решение о получении в банке ссуды, выбрав один из двух вариантов: а) по ставке простых ссудных процентов сроком на 1 год 25%; б) по ставке сложных ссудных процентов сроком на 2 года 20% годовых; ссуда составляет 10 млн. руб.

Задача 3.2

Финансовый менеджер должен принять решение о предъявлении векселя в банк к учету, выбрав один из двух вариантов: а) по простой учетной ставке со сроком погашения через 1 год 80%: б) по сложной учетной ставке со сроком погашения через 1 год 50%. Вексельная сумма составляет 1 млн руб.

Задача 3.3

Определить наиболее выгодный вариант для получения финансовым менеджером ссуды в банке: а) сроком на 2 года по схеме сложных процентов со ставкой 40% годовых; б) сроком на 2.5 года по схеме сложных процентов со ставкой 25% годовых; в) сроком на 3.5 года по смешанной схеме со ставкой 20% годовых. Величина ссуды - 10 тыс. руб.

Задача 3.4

Определить срок удвоения размещенных финансовым менеджером временно свободных денежных средств на условиях ставки сложных ссудных процентов 40% годовых по правилам «72» и «69».

Задача 3.5

Определить ставку сложных ссудных процентов, эквивалентную ставке простых ссудных процентов, равной 20% годовых, на срок 3 года.

Задача 3.6 Инвестор имеет троих детей 16, 14, 10 лет. Он хочет подарить им на совершеннолетие по 10 тыс. $. Какую сумму должны составить инвестиции под 10% годовых для получения необходимой суммы?

Задача 3.7

Определить эффективную ставку сложных ссудных процентов по двум имеющимся вариантам и принять соответствующее решение с точки зрения ссудозаемщика: а) на условиях ежемесячного начисления процентов из расчета 80% годовых; б) на условиях ежеквартального начисления процентов из расчета 90% годовых.

Задача 3.8

Определить скорректированную на величину инфляции ставку простых ссудных процентов, равную 20% годовых и рассчитанную на 2 года, если уровень инфляции в стране 10% в год.

Задача 3.9

Определить величину (будущую и приведенную стоимость) потока платежа постнумерандо с коэффициентом дисконтирования 10%: 200 тыс. руб.; 350 тыс. руб.; 400 тыс. руб.; 200 тыс. руб.; 250 тыс. руб.

Задача 3.10

Определить величину аннуитета пренумерандо с коэффициентом дисконтирования 12%, если поток рассчитан на 5 лет с ежегодной выплатой в размере 2 млн руб.

Задача 3.11

По завещанию наследнику полагается каждый год вплоть до его смерти 1 тыс.$ с гарантированной процентной ставкой 5% годовых. Определить приведенную стоимость этого бессрочного аннуитета.

Задание 3.12

Составить таблицу ставок эквивалентности простых и сложных декурсивных процентов.

Учебное издание

Кичигина Ирина Михайловна

Информация. Денежные потоки.

Временная стоимость денег

Методическое пособие

Издается в авторской редакции

Издательство Байкальского государственного

университета экономики и права.