Запитання для самоконтролю:

1. Яке рівняння називається диференціальним ? Наведіть приклади .

2. Яка функція називається розв’язком диференціального рівняння ?

3. Який розв’язок диференціального рівняння називається загальним і який - частинним ?

4. Який геометричний зміст загального і частинного розв’язку диференціального рівняння ?

5. Чи може диференціальне рівняння мати скінченне число розв’язків ?

6. Що таке порядок диференціального рівняння і як його визначити ?

7. Чи можуть інтегральні криві диференціального рівняння перетинатися?

8. Як перевірити чи правильно знайдено розв’язок диференціального рівняння чи ні ?

9. Чим відрізняється диференціальне рівняння від алгебраїчного рівняння?

10. Який загальний вигляд диференціальних рівнянь першого порядку з відокремленими змінними і з відокремлюваними змінними ?

11. Як розв’язуються рівняння з відокремленими змінними ?

12. В якій послідовності розв’язуються диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними ?

13. В чому полягає задача Коші ? Який її геометричний зміст ?

14. Який загальний вигляд лінійних диференціальних рівнянь першого порядку ? Як розв’язуються такі рівняння ?

15. Навести рівняння , звідні до лінійних , та викласти методи їх інтегрування .

16. Дати означення рівняння Бернуллі . Як воно розв’язується ?

17. Дати означення рівняння Ріккаті . Як його розв’язати , коли відомо частинний розв’язок ?

18. Що називається рівнянням в повних диференціалах ?

Диференціальні рівняння вищих порядків.

§10.Основні поняття та означення . Задача Коші.

Розглянемо диференціальні рівняння , які містять похідні вищих порядків . Порядок найвищої похідної невідомої функції , що входить у диференціальне рівняння , називається порядком цього рівняння .

Диференціальне рівняння n-го порядку має вигляд

(1)

де - незалежна змінна ; - невідома функція ; - відома функція .

Розв’язком рівняння (1) на деякому інтервалі ( а, b) називається n разів неперервно диференційована функція на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в дане рівняння обертає його в тотожність .

Графік розв’язку диференціального рівняння (1) називається його інтегральною кривою .

Для диференціальних рівнянь вищих порядків , як і для рівнянь першого порядку , розглядається задача Коші або задача з початковими умовами .

Для рівняння (1) ця задача ставиться так : серед усіх розв’язків рівняння (1) знайти такий розв’язок , який при задовольняє такі умови :

,

де , , … , - довільні наперед задані дійсні числа .

§11.Простіші диференціальні рівняння другого порядку .

Загальний вигляд . (2)

Рівняння , що містить похідні або диференціали другого порядку , називається диференціальним рівнянням другого порядку .

Простішим диференціальним рівнянням другого порядку є рівняння :

Таке рівняння розв’язується двократним інтегруванням.

Приклад. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Так як , то інтегруючи праву частину рівняння , маємо

Інтегруючи ще раз , одержимо всі разв’язки даного рівняння

де , - довільні сталі .

Задача знаходження розв’язку диференціального рівняння другого порядку , що задовольняє початковим умовам

де , - задані числа , називається задачею Коші .

Ці умови називаються початковими умовами , так як з фізичної точки зору вони означають , що в фіксований ( початковий ) момент часу задані положення матеріальної точки і її швидкість .

Геометричний зміст задачі Коші полягає в знаходженні інтегральної кривої , що проходить через задану точку і має заданий кутовий коефіцієнт дотичної в цій точці .

Вправи

Розв’язати рівняння:

89. 90.

91. 92.

93. 94.

95. 96.

97. Складіть диференціальне рівняння , розв’язками якого є функції :

1)

98. Розв’яжіть задачу Коші :

1)

2)

3)

4)

5)

99. Прискорення тіла , що рухається прямолінійно , змінюється по закону Початкове положення і початкова швидкість v(0)=10 м/с. Знайдіть закон руху точки , положення і швидкість в момент ; момент часу коли швидкість буде найменшою .

100. Тіло вільно падає на Землю без початкової швидкості з висоти 1000м . Знайдіть закон вільного падіння тіла . Через скільки часу тіло досягне Землі ?