Міністерство освіти і науки , молоді та спорту України

Чернівецький індустріальний коледж

Збірник задач і вправ

з диференціальних рівнянь

(Методичний посібник)

Чернівці 2011

Збірник задач і вправ з диференціальних рівнянь / Укл.: Кузик М.В./ Чернівці : ЧІК , 2011. - 27 с.

Збірник складено у відповідності з діючою програмою з математики для коледжів на базі середньої школи .

Містить довідковий матеріал , приклади розв’язування типових рівнянь та задач , набори вправ для аудиторних занять , домашніх завдань, самостійної роботи , а також самостійного вивчення .

В розділах даються короткі відомості по теорії , запитання для самоконтролю і повторення .

Для студентів денної та заочної форми навчання .

Рецензенти : Кієвець Г. М. , викладач математики , викладач вищої категорії , викладач-методист .

Олар Г. М. , викладач математики Політехнічного коледжу , викладач вищої категорії , викладач-методист.

Розглянуто на засіданні кафедри диференціальних рівнянь ЧНУ. Протокол № 4 від 10 листопада 2011 р.

Розглянуто на засіданні циклової комісії природничо-математичних дисциплін . Протокол № 5 від 14 грудня 2011 р.

Схвалено методичною радою Чернівецького індустріального коледжу. Протокол № від грудня 2011р.

Зміст

§1. Поняття про диференціальні рівняння ………………………………………………………….4

§2. Приклади задач , що приводять до диференціальних рівнянь……………………...5

§3. Дифрівняння першого порядку з відокремленими змінними……………….……….6

§4. Дифрівняння першого порядку з відокремлюваними змінними……………………7

§5. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку ………………………………..8

§6. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку ………………………….………….10

§7.Рівняння , які зводяться до лінійних . Рівняння Бернуллі та Ріккаті …….………..12

8. Рівняння в повних диференціалах …………………………………………………….………….13

Деякі застосування диференціальних рівнянь першого порядку ………………..15

§10.Основні поняття та означення . Задача Коші ………………………………………………..19

§11.Простіші диференціальні рівняння другого порядку ……………………………………19

§12. Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами …….21

§13. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку…………………………………………….22

§14.Нормальні системи рівнянь …………………………………………………………………………..25

§1.Поняття про диференціальні рівняння

Диференціальним рівнянням називається рівняння , що містить незалежну змінну х , шукану функцію у і її похідні різних порядків .

Приклад . .

Найвищий порядок похідної , що входить в рівняння називається порядком рівняння .

Функція , яка перетворює рівняння в тотожність , називається інтегралом ( або розв’язком ) цього рівняння .

Розв’язок рівняння , який містить стільки незалежних довільних сталих , який порядок рівняння називається загальним розв’язком .

Розв’язок при конкретних значеннях сталих називається частковим розв’язком .

Графік розв’язку називається інтегральною кривою .

Задача знаходження частинного розв’язку диференціального рівняння , що задовольняють заданим початковим умовам називається задачею Коші.

Вправи

1. Визначить , які із нижче вказаних рівнянь є диференціальними :

1) +3х=0 ; 2)

2 . Дано функції , y= C x , . Які із них є розв’язком диференціального рівняння ?

3. Дано рівняння Яка із функцій у=3х+1 або у=Сх+1 є його розв’язком ?

4. Перевірити , чи є функція у= х²+х+С розв’язком диференціального рівняння dy=(2x+1)dx .

5. Показати , що функція є розв’язком рівняння .

6. Чи є функція х=у²+С розв’язком рівняння х²dx = ydy?

7. Знаючи , що функція у = Сх + С є загальним розв’язком рівняння знайдіть його частинний розв’язок , якщо у(1)=5.

8. Знайдіть загальний і частинний розв’язок диференціального рівняння

§2. Приклади задач , що приводять до диференціальних рівнянь .

Задачі , розв’язання яких зводиться до диференціальних рівнянь ,що містять похідні або диференціали дуже різні .

При складанні диференціального рівняння задачі у вигляді співвідношення між похідними використовується геометричний , фізичний та механічний зміст похідної . Крім того , в залежності від умови, використовуються відомі закони фізики , хімії , механіки та інших наук і різні математичні відомості .

Задача 1. Знайти рівняння лінії , що проходить через точку ( 1;3) і має дотичну , кутовий коефіцієнт якої дорівнює 2х – 3.

Розв’язання. Використовуючи умову , складемо диференціальне рівняння :

Знайдемо загальний розв’язок цього рівняння :

Підставивши початкові дані х=1, у=3 в загальний розв’язок , одержимо С=5. Тоді частинний розв’язок має вигляд у=х²-3х+5 .

Задача 2. Знайти залежність швидкості падіння тіла в повітрі , якщо сила протидії повітря пропорційна квадрату швидкості v і площі S найбільшого перетину тіла , перпендикулярного до напрямку руху , F=kSv²

Розв’язання . Згідно умови задачі і другого закону Ньютона в механіці , диференціальне рівняння руху центра тяжіння падаючого тіла буде

,

Вправи

9. Скласти рівняння кривої , що проходить через точку (1; 3) , якщо кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в кожній її точці дорівнює – 2х .

10. Знайти рівняння кривої , яка має властивість , що кутовий коефіцієнт дотичної в кожній точці кривої в 2 рази менший абсциси точки .

11. Швидкість тіла , що виходить із стану спокою , дорівнює 5t² за час t секунд . Знайти шлях , який пройде тіло за 3с.

12. Скласти рівняння руху тіла по осі оХ , якщо воно почало рух з точки М(4;0) із швидкістю v=2t+3t².

13. Швидкість розпаду радію пропорційна його кількості в даний момент часу . Знайти закон радіоактивного розпаду , якщо відомо , що через 1600 років залишиться половину початкової кількості радію .

14. Швидкість розмноження деяких бактерій пропорційна їх кількості в деякий момент часу t . Кількість бактерій потроїлася протягом 5 год Знайти залежність кількості бактерій від часу .