4.3. Розрахунок при симетричному навантаженні фаз споживачів, сполучених трикутником

Приклад 4.3. Навантаження фаз Z_АВ=Z_ВС=Z_СА=R=22 Ом; U_Л = 220 В. Визначити лінійні та фазні струми та побудувати векторну діаграму напруг і струмів при сполученні фаз трикутником.

Приймаємо напрям вектора фазної напруги по осі дійсних чисел комплексної площини. Тоді струми у фазах:

Згідно з першим законом Кірхгофа струми в лінійних проводах:

В екторна діаграма для даного випадку побудована на рисунку 4.4.

Р исунок 4.4 – Векторна діаграма напруг і струмів для симетричного споживача, сполученого трикутником

4.4. Розрахунок при несиметричному навантаженні фаз споживачів, сполучених трикутником

Якщо Z_АВ¹Z_ВС¹Z_СА, то фазні струми споживача в комплексному вигляді визначають за законом Ома:

а лінійні струми визначають за першим законом Кірхгофа:

Як фазні , так і лінійні струми в цьому випадку не будуть рівні між собою.

Приклад 4.4. Навантаження у фазах Z_AB=R_АВ=22Ом, Z_BC=R_ВС=10Ом, Z_CA=R_CA=11Ом. Напруга U_л=220В. Визначити фазні та лінійні струми при сполученні фаз трикутником. Побудувати векторну діаграму напруг і струмів.

Визначимо комплексні значення фазних струмів:

Комплексні значення лінійних струмів

Векторна діаграма струмів і напруг зображена на рисунку 4.5.

Р исунок 4.5 – Векторна діаграма напруг та струмів для несиметричного навантаження, сполученого трикутником

5. Розрахунки перехідних процесів у електричних колах

5.1. Перехідні процеси в лінійних електричних колах

Після вивчення даного розділу студенти повинні:

1. знати закони зміни струмів і напруг у найпростіших електричних колах при перехідному процесі, рішення рівнянь електричного стану кола в перехідному режимі;

2. розуміти причини виникнення перехідних процесів у електричних колах; закони комутації; характер зміни струмів і напруг в електричних колах при перехідних процесах; зміст та значення постійної часу;

3. вміти складати рівняння електричного стану лінійних електричних кіл при перехідних процесах; визначати постійну часу найпростіших електричних кіл; визначати закон зміни струмів і напруг у найпростіших лінійних електричних колах при перехідних процесах.

Перехідний процес виникає в електричному колі як в результаті зміни параметрів кола, так і при негармонічній зміні значення прикладеної напруги. Вивчаючи перехідні процеси, визначаємо закономірності зміни струму і напруги в елементах електричних кіл у функції часу при переході від одного усталеного стану до іншого. Цей перехід супроводжується зміною енергії магнітного поля в індуктивній котушці W_L=Li²/2 і енергії електричного поля в конденсаторі W_C=Cu²/2. Ці енергії не можуть змінюватися стрибком, оскільки потужність, що рівна похідній енергії за часом, P=dW/dt повинна в цьому випадку досягти нескінченно великого значення, що практично неможливе. Отже, якщо не можуть стрибком змінитися енергія W_L і W_C, то не можуть змінюватися стрибком струм i у вітці з індуктивною котушкою L і напруга u на конденсаторі C, що і обумовлює закони комутації.

Для кола, що складається з трьох послідовно сполучених елементів з параметрами R, L і C, рівняння, складене за другим законом Кірхгофа, для миттєвих напруг і струму має наступний вигляд:

Це рівняння справедливе для будь-якого моменту часу, а отже, як для усталеного стану, так і для перехідного процесу. Приведене рівняння є неоднорідним і його загальний розв’язок можна представити як суму часткового рішення даного рівняння і його загального рішення при рівності нулю правої частини.

Рішенням рівняння для перехідного процесу є показникові і тригонометричні функції, які відіграють головну роль при дослідженні перехідних процесів. Струм усталеного стану позначимо через і_у тоді рівняння прийме вигляд:

Для перехідного режиму:

В одержаному рівнянні різниця струмів (i_пер – і_у) є не чим іншим, як деяким струмом, який існує в електричному колі тільки під час перехідного процесу; напруга u рівна нулю і струм (i_пер – і_у) існує як би незалежно від прикладеної до кола зовнішньої напруги. Цей струм називають вільним і позначають через і_в: i_в=і_пер – і_у,_., звідки

i_пер = і_у + i_в.

Таким чином, струм перехідного процесу може бути одержаний як сума двох струмів, одним з яких є струм усталеного стану і_у, а другим – струм i_в, який є загальним рішенням відповідного однорідного рівняння:

Таким чином, для дослідження перехідного процесу в послідовному колі складається диференціальне рівняння, що описує перехідний процес, рівняння, що визначає собою струм усталеного стану, і однорідне диференціальне рівняння для вільного струму.

Для розв’язку однорідного диференціального рівняння для вільного струму складається характеристичне рівняння, для чого однорідне диференціальне рівняння вільного струму записують в алгебраїчній формі заміною похідної d/dt через оператор р, а інтеграла dt через 1/р.

Провівши вказані операції, одержуємо:

Виносячи за дужку і_в, знаходимо:

.

Оскільки тут і_в не рівний нулю, то pL+R+1/pC=0. Звідки одержуємо шукане характеристичне рівняння:

Показник ступеня р визначає порядок диференціального рівняння для вільного струму. Таким чином, у колі, що складається з трьох послідовно сполучених елементів з параметрами R, L і C, маємо диференціальне рівняння другого порядку. Визначаємо корені характеристичного рівняння:

Залежно від значення коренів характеристичного рівняння (співвідношення між параметрами кола R, L і C) будуть одержані наступні часткові рішення однорідного диференціального рівняння для вільного струму:

1. Якщо (R/2L)²>1/LC, то

2. Якщо (R/2L)²<l/LC, то

Якщо (R/2L)²=l/LC, то

де A₁ і A₂ – постійні інтегрування; р₁ і р₂ – корені характеристичного рівняння.

Корені характеристичного рівняння у цьому випадку відповідно рівні:

.