4.3. Гармонические колебания в пассивных элементах электрических цепей.

Пусть через пассивный резистор проходит гармонический ток

рис(1.6.1)

По закону Ома для мгновенных величин, найдем

Исходя из того, что цепь пассивна, и не может быть сдвига фаз между U и i,

имеем

или и

Следовательно, напряжение и ток совпадают по фазе (Рис.1.6.2)

и

рис(1.6.2)

Вся энергия, поступающая в резистивный элемент преобразуется в тепло.

Мгновенная мощность равна

(1.9.6)

Мгновенная мощность, расходуемая в резисторе, величина положительная и колеблется в пределах от 0 до 2UI. Поскольку напряжение и ток совпадают по фазе, то есть , то из (1.9.5) следует

И всегда

Мгновенное напряжение на индуктивности изменяется по закону

рис(1.6.3)

рис(1.9.8)

где

Откуда следует, напряжение на индуктивности имеет форму гармонического колебания и опережает по фазе колебания тока на угол , или, что то же гармоническое колебание тока в индуктивности отстает по фазе от колебаний напряжения на угол , Рассмотренные колебания находятся в квадратуре.

Мгновенная мощность при этом изменяется во времени по закону

Вначале происходит накопление энергии в магнитном поле за счет энергии источника. После этого происходит отдача энергии и мгновенная мощность в этот момент отрицательна. Потери энергии в L - цепи отсутствует, так как средняя мощность равна нулю:

(2.0.0)

Амплитуда и соответствующие действующие значения напряжения тока на индуктивности связаны соотношениями, подобными закону Ома

и

Где - индуктивное сопротивление.

Мгновенное напряжение на емкости изменяется по нижеследующей формуле (закону) при

рис(1.6.4)

где

Следовательно, в емкости ток опережает по фазе напряжение на 90⁰

рис(1.6.5) рис(1.6.6)

а в индуктивности напряжение опережает по фазе на 90⁰

Амплитуда и соответствующие действующие значения напряжения и тока на емкости связаны соотношением подобным законом Ома

Где - емкостное сопротивление.

Мгновенная мощность изменяется по закону

(2.0.2)

Средняя мощность при этом равна нулю, так как

В С-цепи потери энергии отсутствуют. Вначале происходит заряд, энергия накапливается в поле конденсатора. Затем происходит разряд, энергия, запасенная в электрическом поле, поступает в источник.

Следствие:

1. Гармоническое воздействие (напряжение или ток), приложенное к линейной пассивной электрической цепи, вызывает в ней отклик (напряжение или ток) той же самой частоты.

2. Начальная фаза воздействия в общем случае не равна начальной фазе отклика.

ЛЕКЦИЯ № 7

4.4. Комплексная амплитуда гармонического колебания.

Комплексные числа, вида , где

действительная часть комплексного числа

мнимая часть комплексного числа

и называются комплексно сопряженными.

Операция сложения и умножения коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны.

Существуют обратные действия: вычитание и деление

4.5. Комплексные действующие значения.

Каждому гармоническому колебанию

или

Используя формулу Эйлера

Можно поставить в соответствие комплексную функцию следующего вида

Где - комплексная амплитуда.

Для обратного перехода к мгновенному значению необходимо взять мнимую или действительную часть от

или

Введем комплексное действующее значение, разделив комплексную амплитуду на

Аналогично

Где - действующие значения.

Комплексные действующие значения не зависят от времени. Запишем соответствие следующее для синусоидального колебания

4.6. Законы Кирхгофа для комплексных действующих значений.

Комплексным сопротивление (импендансом) называется величина

где комплексное действующее напряжение, (В)

комплексный ток, (А)

полное сопротивление (Ом)

резистивное сопротивление (ом)

реактивное сопротивление (ом)

рис(1.6.7)

Участок цепи с комплексным сопротивлением

Первый закон Кирхгофа.

Алгебраическая сумма комплексных токов в узле равна нулю

(2.0.3)

Ток берется со знаком «плюс», если направлен к узлу, наоборот «минус».

Второй закон Кирхгофа.

Алгебраическая сумма комплексных падений напряжений в контуре равна алгебраической сумме комплексных ЭДС в этом контуре.

(2.0.4)

Где - число ветвей в контуре

- общее сопротивление к-ой ветви

n - количество ЭДС в контуре.

ЭДС берется со знаком «плюс», если направление совпадает с положительным направлением обхода и «минус» наоборот.

Комплексные падения напряжения берутся со знаком «плюс», если направление тока совпадает с положительным направлением обхода контура и «минус» наоборот.

Подсчет количества уравнений для расчета токов в цепи.

число уравнений по первому закону Кирхгофа.

число уравнений по второму закону Кирхгофа

Число ветвей

Число узлов

Число источников тока.