I. Пусть цель моделирования - вычислить вероятность р некоторого события а:

m

`P= (13.3)

N

где m - количество появлений события А,

N - количество реализаций,

`P - частота.

Теорема Лапласа (частный случай центральной предельной теоремы теории вероятности):

При достаточно больших N частоту m/N можно рассматривать как СВ, которая имеет распределение, близкое к нормальному, с мат. ожиданием Р и дисперсией, равной

P(1 - P)

N

Поэтому для каждого значения a можно выбрать из таблиц нормального распределения такую величину t_a ( t_a - квантиль нормального распределения), что точность e = t_aÖD[m/N] (13.4).

P(1 - P)

e² = t_a²

N

P( 1 - P)

N = t_a² (13.5) e²

(13.5) можно пользоваться, если мы имеем дело с оценкой вероятности.

II. Пусть результат моделирования - это оценка мат. ожидания и дисперсии:

Пусть СВ x имеет мат. ожидание а и дисперсию s² и в реализации с номером i принимает значения x_i. В качестве оценки мат.ожидания используется среднее значение, которое определяется следующим образом:

_N

`x = 1/N å x_i (13.6)

ⁱ⁼¹

Теорема:

При больших N среднее арифметическое будет являться СВ, которая стремится к нормальному закону распределения с мат.ожиданием а и дисперсией s². Тогда точность e:

s

e = t_a (13.7)

ÖN

t_a²s²

N = (13.8)

e²

Алгоритм выбора необходимого числа реализаций:

1. Задается N₀ в интервале от 50 до100 реализаций;

2. Используя имитационную модель, определяем `Р;

3. Полученное `Р подставляем в (13.5) и получаем N₁;

4. Сравниваем N_i-1 и N_i, если N_i-1 < N_i, то мы повторяем весь алгоритм, начиная с п.2.

Для вычисления оценки мат. ожидания и дисперсии используется тот же алгоритм, но в п.2 вычисляется оценка дисперсии и оценка мат.ожидания, а в п.3 N₁ вычисляется по формуле (13.8).

Особенности фиксации и статистической

обработки результатов моделирования.

При имитационном моделировании необходимо предусмотреть меры по организации эффективной обработки данных и их представлении. При выборе метода обработки существенную роль играют следующие особенности:

1) при моделировании получают огромные выборки, которые количественно позволяют оценить характеристики процесса функционирования системы. При этом возникает проблема хранения промежуточных результатов моделирования. Она в основном решается за счет организации алгоритма т.о., чтобы оценки вычислялись в процессе моделирования;

2) априорно сделать какие-либо предположения о характеристиках процесса функционирования системы невозможно, поэтому в моделировании используются оценки моментов распределения;

3) блочность структуры модели, когда исходными данными для моделирования одного компонента являются результаты моделирования какого-либо другого компонента.

При построении алгоритма мы должны выдвигать к нему 2 критерия ( с вычислительной точки зрения):

1) используемая память должна быть минимальна;

2) время вычисления должно быть минимально.

I. Пусть в качестве искомой величины фигурирует вероятность наступления некоторого события А. В качестве оценки вероятности используется частота:

m

`P(A) = (14.1)

N

где m - число появлений события А,

N - число реализаций.

II. Пусть в результате моделирования необходимо оценить закон распределения. Для этого область значений СВ x разбивается на k интервалов, и для каждого i-го интервала определяется либо m_i (количество значений СВ, попавших в i-ый интервал), либо определяется `P_i (частота):

`P_i = m_i /N (14.2)

III. Если результат моделирования - это мат.ожидание. Оценкой мат.ожидания является среднее значение:

_N

`y = 1/N å y_i (14.3)

ⁱ⁼¹

IV. В качестве результата моделирования - дисперсия.

_N

`D = 1/N å (y<sub>i</sub> - `y )² (14.4)

ⁱ⁼¹

_{N N}

`D_y = 1/(N - 1) å y_i² - 1/[N(N - 1)] ( å y_i )² (14.5)

^{i=1 i=1}

V. Если оценка - корреляционный момент между последовательностью СВ, принимающих значения X и Y.

_N

`K<sub>xh</sub> = 1/N å (y<sub>i</sub> - `y)(x_i - `x) (14.6)

ⁱ⁼¹

_{N N N}

`K_xh = 1/(N - 1) å y_i x_i - 1/[N(N - 1)] å y_i å x_i (14.7)

^{i=1 i=1 i=1}