5

Модуль очп отношение частичного порядка Вход

Модули ОСП, ОТН.

Выход

Понятия

Параметры	Понятие, обозначение	Определяющее понятие и видовые признаки
<X,  , A X	Мажоранта A	Элемент xX  a  x  aA
<X,  , A X	Наибольший элемент A	Мажоранта A  A
<X,  , A X	Миноранта A	Элемент xX  x  a  aA
<X,  , A X	Наименьший элемент A	Миноранта A  A
<X,  , A X	Супремум A, supA	Мажорантa A, наименьшая во множестве всех мажорант А
<X,  , A X	Инфимум A, infA	Минорантa A, наибольшая во множестве всех минорант А
<X,  , A X	Максимальный элемент A, maxA	Элемент maxA  A aA  a  maxA  a  maxA
<X,  , A X	Минимальный элемент A, minA	Элемент minA  A aA  a  minA  a  minA
<X,  , A X	Ограниченное сверху подмножество	Подмножество A, для которого существует мажоранта
<X,  , A X	Ограниченное снизу подмножество	Подмножество A, для которого существует миноранта
<X,  , A X	Цепь	Подмножество A, в котором любые два элемента сравнимы (т.е. <A,  > - ЛУМ)
<X,  , A X	Cквозное подмножество	Подмножество A, у которого нет строгой мажоранты: не xX a  x aA
<X,   - ЛУМ	Вполне упорядоченное множество	ЛУМ <X,    A  X  A содержит наименьший элемент А
X,Y ObS	Многозначное отображение (м.о.)	Отображение F: X  (Y)
F: X (Y) - м. о.	Oднозначная ветвь м. о. F	Отображение f : X  Y xX  fx  Fx

Элемент с.

Элемент м. Множество

Мажоранта Мах Миноранта Мin Подмножество Бинарное Упорядоченная

элемент элемент (п/м) отношение пара

Наибольший Супремум Наименьший Инфимум Отображение ЧУМ

элемент элемент

ЛУМ

Ограниченное Ограниченное Цепь Сквозное п/м Вполне

сверху п/м снизу п/м упорядоченное м.

Многозначное о. Однозначная ветвь м.о.

Утверждения

У ТВ ОЧП-1 Аксиома сквозной цепи

B любом ЧУМ существует сквозная цепь

У ТВ ОЧП-2 Лемма Цорна Пусть  X,   - ЧУМ. Тогда :

( цепь в X ограничена сверху )  в X  maxX

Если в ЧУМ  X,   всякая цепь ограничена сверху, то в X существует максимальный элемент

УТВ ОЧП-3 Аксиома выбора Пусть F: X (Y) - м. о. Тогда :

(Fx    xX)  F имеет однозначную ветвь

Всякое м. о. с непустыми значениями имеет однозначную ветвь

УТВ ОЧП-4 Теорема о вполне упорядоченности

Любое множество можно вполне упорядочить

УТВ ОЧП-5 Принцип индукции Пусть  X,   - вполне упорядоченное м. A:XPr - параметрическое высказывание 1) X1 - наименьший элемент в X  A(1) истинно;

2) (1yX & A(x) истинно для x  y)  A(y) истинно. Тогда A(x) истинно для xX.

Умения

УМ ОЧП-1 Пусть A   X,   - ЧУМ. Найти (изобразить):

1.1 A;

1.2 Множество мажорант и минорант A (если );

1.3 supA, infA (если );

1.4 Наибольший и наименьший элементы A (если );

1.5 Множества всех maxA и minA (если );

1.6 Цепь в A, содержащую не менее 2 элементов (если );

1.7 Cквозную цепь в X;

1.8 Два несравнимых элемента в A (если ).

Примеры

ПР ОЧП-1 Пусть X =  R²,  ;  x₁, x₂   y₁, y₂  x₁  y₁  x₂  y₂ ;

1.1 A = {0, 1, 1, 0} 1.2 См. рис. 1 1.3 supA = <1, 1> infA = <0, 0> 1.4 Наибольшего э. и наименьшего э. в А нет 1.5 {maxA}={minA} = A 1.6 Таких цепей в А нет, есть только 2 тривиальные цепи {0, 1} и {1, 0} 1.7 {<n, n>: nN} - сквозгая цепь в X 1.8 0, 1 и 1, 0 несравнимы, как и любые максимальные (минимальные) элементы

A = {0, 1, 1, 0}

Множество

мажорант А

R

0, 1 

<1, 1> = supA

Множество

минорант А

infA = <0, 0>  R

1, 0

Рис. 1