1.4 Фильтрующие свойства разложений

В некоторых приложениях достаточно хорошо известен класс обрабатываемых функций. Например, при экспериментальном определении частотных характеристик входные и выходные сигналы являются гармоническими функциями, или близкие к ним. Отличие от гармонических функций определяется присутствием в экспериментальных данных случайных помех, уровень которых может быть достаточно высоким. Обрабатываемый сигнал f(j) в таких случаях можно представить:

f(j) = S₀(j) + ah(j); S₀(j) = ; j = 1…N (1.21)

Здесь S₀(j) – идеальный (незашумленный) сигнал; ф_k(j), k = 1…n , - известные функции, составляющие идеальный сигнал; h(j) – случайный сигнал с известным законом распределения; а – коэффициент при случайном сигнале, с который условно назовем амплитудой помехи. В качестве базиса для разложения f(j) примем функции ф_k(j), входящие в идеальный сигнал (21). Целью разложения в этом случае является как можно более точное определение параметров C_0k незашумленного сигнала, то – есть фильтрация помех. В результате разложения получим

S(j) = (1.22)

где коэффициенты разложения C_k вычислены по соотношениям (17) и (20).

На Рис. 3 представлено функциональное пространство H (для N = 3), плоскость S_n (для n = 2), а также все величины, входящие в (21) и (22). Вектор aS_h(j) является проекцией вектора помехи ah(j) на плоскость S_n, то – есть разложением помехи по базису ф_k(j). Из треугольника а1а2а3 (рис.3) получим соотношение:

aS_h(j) + d(j) = ah(j). (1.23)

Поскольку вектор ошибки d (отрезок a1a2)ортогонален плоскости S_n , то треугольник a1a2a3 является прямоугольным, поэтому, по аналогу теоремы Пифагора, из уравнения (23) можно получить:

a²E_Sh + E_d = a²E_h (1.24)

Здесь a²E_h– энергия помехи ah(j), a²E_Sh - энергия разложения aS_h помехи ah(j), E_d – энергия ошибки разложения d(j) = f(j) – S(j). Фильтрующие свойства разложения можно характеризовать коэффициентом фильтрации К_ф, отражающим уменьшение модуля помехи при проектировании ее на базисную гиперплоскость:

К_ф = / = / . (1.25)

Из прямоугольного треугольника а1а2а3 (Рис.3) и (25) можно получить соотношение:

К_ф = , (1.26)

где E_h – энергия случайного сигнала h(j), E_Sh – энергия разложения S_h(j) этого сигнала. При достаточно больших N эти величины обладают статистической устойчивостью и, согласно [4], их осредненные значения могут быть оценены теоретически. По определению, энергия случайного сигнала h(j)

E_h =

Осредним эту величину по ансамблю реализаций h(j):

E_h = M{ } = = = ND_h = N(G_h)² (1.27)

Здесь D_h и G_h - дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины h(j) соответственно. При известном (или предполагаемом) законе распределения эти величины известны. Так, для равномерного закона распределения с единичным диапазоном

D_h = 1/12 = 0.083; G_h = = 0.289 (1.28)