Лекция 4

Математические модели источников оптических сигналов

Постановка задачи разработки математических моделей оптических сигналов

Источник оптического сигнала – структурный элемент обобщенной схемы, описывающий свойства объектов, как источников полезных или фоновых оптических сигналов.

Для выполнения на системотехническом уровне проектных процедур анализа, синтеза и параметрической оптимизации необходимо выбрать тип тестового сигнала и соответствующее ему модельное описание. На практике применяют тестовые сигналы самых различных типов: от точечного излучателя до сложных образов, с той или иной степенью подобия имитирующих свойства излучения реальных объектов.

В тракте ОЭП оптический сигнал, как правило, преобразуется в электрический сигнал, который также обладает определённой спецификой описания. Чтобы определить математические модели источников сигналов, как оптических, так и электрических, проведём анализ типов сигналов, которые могут преобразовываться в тракте ОЭП.

Во-первых, оптические сигналы могут описываться как одномерными, так и многомерными функциями (в большинстве случаев). Электрические сигналы, как правило, являются одномерными.

Во-вторых, модельное представление источников оптических сигналов зависит от степени их когерентности. С этих позиций различают:

• источники когерентных оптических сигналов;

• источники некогерентных оптических сигналов;

• источники частично когерентных оптических сигналов.

В-третьих, в подавляющем большинстве случаев в поле зрения ОЭП попадает излучение от источников, которые по способу математического описания можно отнести к двум различным группам. Первую группу источников излучения образуют объекты, свойства которых, как источников оптических сигналов, в достаточной степени детерминированы. Вторую группу источников сигналов образуют различного рода фоновые образования, свойства которых, как источников оптических сигналов, описываются случайными функциями. Сигналы от источников излучения первой группы условимся называть сигналами от объектов, а сигналы от источников излучения второй группы - фоновыми сигналами. Для модельного описания важным является не источник сигнала, в данном случае, объект или фон, а возможность отнесения сигнала к типу детерминированных или случайных сигналов.

На основе проведённого анализа представим классификацию сигналов в виде схемы (см. рис. 1).

Рисунок 1 – Классификация сигналов

В соответствии со схемой на рис. 1, сигналы могут быть одномерными и многомерными. Деление сигналов по признаку размерности функции, описывающей сигнал, характеризует возможность передачи об информации в пространстве тех или иных аргументов. Например, электрический сигнал описывается функцией одной переменной- времени. Оптический сигнал также может быть функцией одной переменной, например,. Но чаще оптический сигнал является многомерной функцией, например:

• - пространственное распределение спектральной светимости;

• - пространственное распределение спектральной облучённости;

• - пространственное распределение спектральной яркости;

• - спектральная сила излучения.

По признаку, характеризующему свойства оптического излучения, сигналы могут быть: когерентными, некогерентными или частично когерентными. Когерентные оптические сигналы описывают, используя следующие физические термины: проекции вектора электрического поля, комплексная амплитуда волны и др. Некогерентные сигналы описывают в терминах интенсивностей: поток излучения, облучённость, светимость, сила излучения, яркость. Частично когерентные сигналы описываются функцией взаимной когерентности.

(Определение когерентного излучения: когерентное излучение – это излучение, которого амплитуда постоянна, а фаза линейно зависит от координаты в направлении распространения волны).

Кроме этого, различают сигналы: детерминированные и случайные. Детерминированные сигналы описывают функциями, которые определяются в обычных терминах: напряжение, сила тока, амплитуда волны, интенсивность (поток излучения, облучённость, светимость, сила излучения, яркость).

Важно отметить, что сигнал, описываемый в терминах когерентного излучения, может быть только детерминированным. (Задать вопрос студентам: Почему?)

Вид функций, используемых для математического описания сигналов

Описание сигналов в виде функций, заданных в пространстве аргументов является недостаточным. Как правило, информация об объектах содержится в параметрическом описании. Поэтому будем задавать, функции, описывающие сигналы в виде: , где:

- вектор аргументов, заданных в некотором многомерном пространстве;

- вектор параметров, характеризующих такую информацию об объекте, как: температуру , коэффициент отражения, линейные координатыв пространстве, ориентацию в пространствеи др.

Рационально использовать именно такое описание в виде , так как в ряде случаев ОЭП должен обеспечить измерение тех или иных параметров, содержащих информацию об объектах. Как правило, все параметры являются случайными величинами. Часть из этих случайных параметров являются, так называемыми,измеряемыми, а другие – неизмеряемыми, «мешающими». Поэтому сигналы, содержащие в своём описании случайные неизмеряемые параметры, относят к классу «квазидетерминированных» случайных процессов.

Модельное математическое описание источника оптического сигнала выбирается проектантом в зависимости от свойств источника этих сигналов, которые используются в проектируемом ОЭП. При этом в первую очередь необходимо задуматься о том, в какой степени излучение является когерентным или некогерентным. Рассмотрим математические модели оптических сигналов, которые имеют отличия по степени когерентности излучения.

Математические модели источников когерентного излучения

Следует иметь в виду, что использование модели когерентного источника, является допущением. Не существует таких источников, которые без оговорок (допущений) можно было бы отнести к типу когерентных.

Классическое описание когерентного оптического сигнала задаётся в терминах, характеризующих электромагнитное излучение, а именно, вектором электрического поля или вектором магнитной индукции. Чаще используют описание вектором электрического поля, который представляется проекциями:

. (1)

Фаза колебаний в различных плоскостях характеризует вид поляризации электромагнитного поля. Если свойства поляризации важны для функционирования ОЭП, то используют матрицы Джонса. Если свойства поляризации излучения не важны, т.е. в ОЭП не используются эти свойства, используют одну из проекций

, (2)

где комплексная амплитуда электромагнитной (ЭМ) волны.

Описание в виде дает модельное описание, которое используется в рамках скалярной теории дифракции. Обычно используют два типа тестовых сигналов для когерентных источников:

• модель плоской волны;

• модель сферической волны.

Модель источника плоской волны

В этом случае ЭМ волна описывается функцией вида

, (3)

где нормаль к поверхности волнового фронта;

радиус-вектор, проведённый в некоторую точкуPволнового фронта.

Модель источника сферической волны

В этом случае ЭМ волна описывается функцией вида

. (4)

Переменными проектирования для данного структурного элемента схемы ОЭП как объекта проектирования являются:

• амплитуда волны ,[В/м];

• длина волны излучения ,[мкм].

Модельное описание источника излучения как когерентного в наибольшей степени адекватно такому реальному излучателю как газовый лазер. Длина когерентности газового лазера достигает сотен миллиметров.

Наибольшие погрешности такого модельного описания присущи полупроводниковому лазеру, длина когерентности которого не превышает десятков миллиметров. Для него правильнее было бы использовать модель частично когерентного излучателя.

Математические модели источников частично когерентного излучения

На практике говорить об идеально когерентном источнике излучения можно лишь в отношении некоторых газовых лазерах. В природе вообще не существует когерентных источников.

Говоря о когерентности, следует различать временную и пространственную когерентность. В чём разница? Что такое пространственная и временная когерентность?

Пусть имеется источник излучения.

Для описания излучения частично когерентного источника используем скалярное описание в виде

. (5)

Отличие от ранее использованного описания в виде формулы (2) заключается в том, что комплексная амплитуда зависит от времени. Эта зависимость учитывает конечную длину цуга волны излучаемой из некоторой точки поверхности объекта, причём эта длина изменяется случайным образом. Кроме этого, амплитуда и фаза волн, излучающих точек Р1 и Р2 отличаются и при случайной длине цуга волн результат интерференции в точке Qбудет также изменяться случайным образом. Свойства частично когерентного источника оценивают функцией взаимной когерентности, которая определяется как

. (6)

где - символ усреднения по ансамблю.

Если излучение является когерентным, то

Если излучение некогерентное, то , гдеинтенсивность излучения.

В промежуточном случае – излучение частично когерентное.

Математические модели источников некогерентного излучения

Как следует из выше изложенного, некогерентное излучение характеризуется интенсивностью, которая обычно описывается в терминах: облученности , светимости, потока излучения, силы излучения, яркости. Сигналы от некогерентных источников имеют вид:

спектральный поток излучения, в Вт/мкм;

спектральное распределение облученности, в Вт/(м²мкм);

спектральное распределение светимости, в Вт/(м²мкм);

спектральная сила излучения, в Вт/(ср мкм);

спектральная распределение яркости, в Вт/(м²мкм).

Важной особенностью сигналов от некогерентных источников является то, что они описываются многомерными функциями. Наибольшей размерностью обладает сигнал, определяемый в терминах яркости. Но именно такой сигнал содержит максимальное количество информации об объекте. Оперировать многомерными функциями крайне неудобно.

Для понижения размерности сигналов используются три основных приёма:

1. пренебрегают зависимостью от тех или иных аргументов;

2. переводят зависимость от аргумента в зависимость от некоторого параметра;

3. представляют функцию, описывающую сигнал как функцию с разделяющимися переменными.

Например, довольно часто используют модель источника излучения как ламбертовского. Тогда спектральная сила излучения и спектральное распределение яркости описываются функциями вида ,.

Если нельзя принять такое допущение, то используют приём 2 – переводят зависимость от направления визирования в параметрическую зависимость.

В данном примере индикатриса силы излучения ЛА сильно отличается в зависимости от угла . Если априори известны углы визирования – со стороны передней или задней полусферы, то, с учётом того, что передний апертурный угол ОЭП, регистрирующего излучение, очень мал, силу или яркость излучения можно представить как,.

В некоторых случаях можно пренебречь зависимостью сигналов от времени, например, когда скорость смещения изображения объекта мала по сравнению со временем регистрации одного кадра.

Рассмотрим пример, когда можно воспользоваться приёмом, позволяющим представить сигнал в виде функции с разделяющимися переменными.

Модель теплового источника

Излучение любого реального объекта складывается из двух составляющих:

• собственное излучение;

• излучение внешних источников, отражённое поверхностью объекта.

Поэтому, предполагая, что объект непрозрачный, диффузный (ламбертовский) и не изменят характеристик излучения во времени, его светимость можно представить как

, (7)

где

светимость, обусловленная собственным излучением объекта;

светимость, обусловленная отражением поверхностью объекта излучения от внешних источников.

Рассмотрим эти составляющие:

, (8)

где: спектральный коэффициент теплового излучения;

излучение АЧТ, с распределением температуры по поверхности, причём

(9)

, - константы;

Светимость, обусловленная отражением поверхностью объекта излучения от внешних источников

,

где: распределение коэффициента отражения по поверхности объекта.

Следует иметь в виду, что спектральный коэффициент теплового излучения для реальных объектов в ИК-диапазоне длин волн (от 3 мкм до 14 мкм) составляет величины порядка . Поэтому доля отражённого излучения в ИК-диапазоне пренебрежимо мала по сравнению с собственным излучением.

Для описания излучения в ИК-диапазоне применяют модель теплового источника, когда можно пренебречь долей отражённого излучения. Светимость описывается формулой (8).

Так как зависимость коэффициента излучательной способности от температуры очень малая, то пренебрежём зависимостьюот координат, а именно,

.

Сигнал от теплового источника определяется приращением светимости относительно уровня фона, имеющего равномерное пространственное распределение.

Тогда сигнал от теплового источника можно представить как

. (10)

Примем ряд допущений:

• ;

• , где.

Тогда для :

(11)

где

; (12)

. (13)

Таким образом, трёхмерный сигнал от теплового источника может быть представлен произведением функций меньшей размерности.