56

ꗬÁ䀵Й1ዸ¿11က11؀1稀

橢橢㋏㋏222222222Й鱛墭2墭22222222222Q222¤2222¤2222¤22222222ˆ22Ҙ222Ҙ2Ҙ222Ҙ222԰222԰222԰2µ22222Մ222檨222檨222檨282櫠2ʤ2涄2ì2Մ222웾2ö2湼2ࢼ2眸2"2睚222睚222睚222籑2Ȯ2繿2¼2缻2`2쓽22쓿222쓿222쓿222쓿222쓿222쓿222쟴2ɒ2쩆2X2쓿2ƹ222222222԰222羛22222222222箙2¸2籑222羛222羛222쓿2222222Ҙ222Ҙ222睚2222222睚2п2울22쏇222쏇222쏇222羛2㚠2Ҙ2l2睚222԰222睚222쓽2222222쏇222222222222222222222222222羛222쓽222쏇2À2쏇222쒇22쒉22Ԅ2,2԰2222222222222222222222222222222쒙222睚222湰2

3ꋙ꒿Lj3333檨333똻3ૌ3쒍333333쓁3<3웎303웾333쒓33쪞333섇3ʤ3쪞333쒙3333333Մ333Մ333Ҙ333Ҙ333Ҙ333Ҙ33333333333쪞3333333԰333쒙3(3羛333羛333쏇333羛333羛3333333333333333333羛333羛333羛333쓿333쓿333Մ333Մ3敤3檨3333333쎫33Մ333Մ333檨333ā33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

(9 – й Семестр)

Кафедра ИУ—3, Проф. Боевкин Виктор Иванович

Введение

Термин « моделирование » имеет очень широкое применение и означает абстрактное воспроизведение интересующих нас свойств некоторого устройства или процесса с целью их изучения. Необходимо, чтобы «модель» достаточно точно совпадала с объектом именно в изучаемой области свойств. Несовпадение других свойств не имеет значения.

Во многих областях техники используются геометрические модели, воспроизводящие в натуральную величину или в масштабе внешний вид и (или) внутреннее устройство архитектурных сооружений, автомобилей, кораблей, самолетов, кинематических схем механизмов и т. д. По таким моделям изучается и корректируется внешний вид, функционирование кинематических схем. При известных критериях подобия по геометрическим моделям изучаются гидро- и аэро-динамические свойства объектов.

Наиболее абстрактни ликвидировать внештатные и аварийные ситуации.

Для определения статистических характеристик сложных систем, находящихся под воздействием случайных воздействий, применяется статистическое моделирование.

В этом случае моделирование проводится многократно, при различных реализациях случайных воздействий, что позволяет получить статистические характеристики изучаемой системы.

При проведении моделирования главным вопросом является его достоверность, что связано с оценкой погрешностей моделирования и их минимизацией.

Проведение экспериментов при моделировании связано с большим количеством измерений. Выбор измерительных приборов и анализ влияния их погрешностей на результаты моделирования – необходимый этап работы.

В процессе проведения экспериментов возникают помехи или шумы, чаще всего электрического характера. Оценка уровня помех и их влияния на погрешности моделирования, фильтрация помех с целью минимизации их влияния – также необходимы.

При математическом моделировании сложной динамической системы необходимо правильно выбрать математическое описание этой системы. Дело в том, что математическое описание любого реального объекта может быть сколь угодно сложным. Если учитывать, например, распределенные параметры всех узлов объекта, таких, как вращающиеся валы – потребуется описание ввиде систем уравнений в частных производных. Реализация таких моделей с помощью обычных вычислительных средств становится затруднительной или даже невозможной.

Слишком простое математическое описание может привести к ошибкам не только количественного, но и качественного характера, например – неправильной оценке факта устойчивости.

Таким образом, математическое описание моделируемой системы должно быть адекватным решаемой задаче.

При выбранном математическом описании необходимо правильно выбрать вычислительные средства и программы, обеспечивающие достаточно точное решение. Для этого необходимо уметь правильно оценивать погрешности при решении конкретной задачи.

При проведении полунатурного моделирования необходимо оценивать и минимизировать погрешности решения, вызванные неидеальностью преобразующих устройств.

Раздел 1. Фильтрация помех при моделировании

1.1 Алгоритм разложения сигнала по неортогональному базису

При обработке экспериментальных функций времени может возникнуть необходимость представления этих функций в виде аналитических выражений. Непрерывный процесс f(t), определенный на интервале T, можно разложить по заранее выбранной системе базисных функций ф₁(t)…ф_n(t), где n – число базисных функций. Разложение S(t) имеет вид:

S(t) = ; f(t) = S(t) + d(t) (1.1) Здесь d(t) = f(t) – S(t) (1.2)

-ошибка разложения

Введем понятие энергии E_y функции (сигнала) y(t):

E_y = (1.3)

В качестве критерия, характеризующего удаление S(t) от f(t) на интервале T, то-есть характеризующего качество разложения, примем энергию ошибки

E_d = (1.4)

При заданных f(t) , T и ф_i(t) энергия ошибки является функцией от коэффициентов C_i разложения. Коэффициенты разложения будем выбирать из условия минимума энергии ошибки, для чего приравняем нулю частные производные

= 0 ; i = 1…n . (1.5)

Из (4) и (2) можно получить:

E_d = = E_f – A + E_s ; (1.6)

E_f = , A = -2 , E_s =

С учетом (6) уравнения (5) станут:

= - + = 0; i = 1…n (1.7)

Используя (1) и (6) , выпишем частные производные:

= 0; = 2 (1.8)

= 2 ; = ф_i (t)

Подставив (8) в (7), получим:

= V_i; i = 1…n . (1.9)

Здесь введены обозначения:

U_i,k = ; V_i = . (1.10)

Линейная алгебраическая неоднородная система уравнений (9) вместе с обозначениями (10) определяет значения коэффициентов разложения C_i , при которых энергия E_d ошибки разложения минимальна. Используя обозначения (10), энергию ошибки (4) при произвольных значениях коэффициентов C_i можно представить:

E_d = E_f – 2 + . (1.11)

При оптимальных значениях коэффициентов, вычисленных из (9), энергия ошибки (11) имеет вид:

E_d = E_f - = E_f –E_s . (1.12)

Приведенные выше результаты имеют достаточно прозрачное геометрическое представление. Введем в рассмотрение пространство H (бесконечномерное), элементами которого являются функции, определенные на интервале T, и удовлетворяющие условиям Дирихле, то – есть ограниченные и имеющие конечное число экстремумов и разрывов первого рода. Любая такая функция представляется в пространстве H точкой или, что эквивалентно, вектором. Определим скалярное произведение двух векторов в пространстве H следующим образом:

= (1.13)

Пространства, в которых определена операция скалярного произведения, называются Гильбертовыми. Они обладают геометрическими аналогиями, вследствие которых суждения, полученные из геометрического рассмотрения, имеют силу доказательств. Квадрат модуля любого сигнала y(t) в пространстве H равен энергии этого сигнала, что видно из определений энергии (3) и cкалярного произведения (13):

= = = E_y (1.14)

Векторы y(t) и x(t) ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю:

= = 0 (1.15)

Базисные функции ф_i(t) изображаются в пространстве H векторами, которые формируют гиперплоскость S_n размерностью n, то есть набор функций ф_i (t) является неортогональным базисом гиперплоскости S_n. Разложение S из (1) всегда лежит в гиперплоскости S_n а коэффициенты C_i являются координатами S в неортогональном базисе гиперплоскости S_n. Разлагаемая функция f(t), в общем случае, не лежит в гиперплоскости S_n. Ошибка разложения d(t) изображается в пространстве H вектором, соединяющим концы векторов f(t) и S(t). Квадрат длины вектора ошибки, согласно (14), равен энергии ошибки, т.е. принятому критерию близости (4). Из геометрических соображений ясно, что длина вектора ошибки (а вместе с ней и энергия ошибки) будет минимальной, если вектор ошибки d(t) ортогонален гиперплоскости S_n. Последнее выполняется, когда вектор ошибки d(t) ортогонален ко всем базисным функциям ф_i(t), формирующим гиперплоскость S_n. Принимая во внимание определение скалярного произведения (13) и условие ортогональности (15), можно записать:

= = 0

Легко видеть, что подставив сюда d(t) = f(t) – S(t) из (2) и используя обозначения (10), получим систему уравнений (9). Величины (10) при этом являются скалярными произведениями:

U_i,k = = ; (1.16)

V_i = = .

Матричная запись системы уравнений (9) имеет вид:

U*C = V (1.17)

Здесь U – квадратная матрица размерностью n*n с элементами U_i,k , V – вектор правых частей размерностью n*1 с элементами V_i , C– вектор неизвестных размерностью n*1 с элементами C_k..