Министерство образования и науки Российской Федерации

Новосибирский государственный технический университет

__________________________________________________________________________

к. п. кадомская

и. м. степанов

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве сборника задач

Новосибирск

2008

УДК 621.31-192:51+519.873](076.1)

К 136

Рецензент д-р техн. наук, проф. Ю.А. Секретарев

Работа подготовлена кафедрой техники и электрофизики высоких напряжений для студентов-бакалавров IV курса ФЭН

Кадомская, К.П.

К 136       Основы математической теории надежности и ее приложения к задачам электроэнергетики : сб. задач / К.П. Кадомская, И.М. Степанов. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008. – 40 с.

ISBN 978-5-7782-0923-7

рассмотрены способы решения задач из некоторых разделов математической теории надежности и ее приложений к задачам электроэнергетики. По каждому разделу даны типовые задачи с подробными решениями и задачи для самостоятельного решения студентами.

Кира Пантелеймоновна Кадомская

Илья Михайлович Степанов

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ

Сборник задач

Редактор И.Л. Кескевич

Выпускающий редактор И.П. Брованова

Корректор И.Е. Семенова

Дизайн обложки А.В. Ладыжская

Компьютерная верстка С.И. Ткачева

Подписано в печать 22.04.2008. Формат 60 ´ 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Уч.-изд. л. 2,32. Печ. л. 2,5. Изд. № 13. Заказ № . Цена договорная

Отпечатано в типографии

Новосибирского государственного технического университета

630092, Г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

УДК 621.31-192:51+519.873](076.1)

ISBN 978-5-7782-0923-7 © Кадомская К.П.,

Степанов И.М., 2008

© Новосибирский государственный

технический университет, 2008

Оглавление

Предисловие 4

1. надежность элемента и системы, эксплуатируемой до первого отказа 5

2. надежность системы с зависимыми элементами 17

3. надежность восстанавливаемого элемента 21

3.1. Время восстановления элемента пренебрежимо мало 21

3.2. Время восстановления элемента соизмеримо со временем его эксплуатации до отказа 23

4. резервирование в технических системах 29

5. законы распределения сроков службы стареющих элементов 32

5.1. Усеченный нормальный закон 33

5.2. Комбинированный закон 34

6. предупредительные замены стареющих элементов 38

Библиографический список 40

Предисловие

Настоящий сборник задач предназначен для индивидуальной работы над разделами курса. Как правило, типовые задачи решает лектор во время чтения курса. Практическое же освоение студентами материала основывается на выполнении ими индивидуальных заданий по соответствующим разделам курса. Объем каждого задания ориентирован на его выполнение в течение двух академических часов аудиторных занятий. Задания могут выполняться как во время аудиторных занятий, так и вне аудитории с последующей сдачей задания на очередном занятии или консультации.

Из-за ограниченного объема настоящего сборника в нем отсутствуют сведения из теории, которые можно получить в учебном пособии «Основы математической теории надежности и её приложения к задачам электроэнергетики» [1], где даются ссылки и на другие литературные источники как по математической теории надежности, так и по ее приложениям к задачам электроэнергетики, например, [2 – 5]. По каждому из разделов сборника приведено решение типовых задач и даны задачи для индивидуальной работы студента под контролем преподавателя.

Материал сборника может быть также использован и для самостоятельной работы над дисциплиной как студентами, так и аспирантами электроэнергетических специальностей.

При написании настоящей работы использован опыт одного из авторов преподавания данной дисциплины в Санкт-Петербургском и Новосибирском государственных технических университетах, а также опыт научной работы авторов, связанной также с вопросами, состав-ляющими предмет курса.

1. НадежносТь элемента и системы, эксплуатируемой до первого отказа Типовые задачи с решениями

Во всех вариантах первой задачи первого задания приняты следующие допущения:

• функции надежности всех единичных элементов, входящих в систему, описываются экспоненциальным законом при интенсивности отказов l₁;

• резервные элементы эксплуатируются совместно с рабочими элементами и имеют те же характеристики надежности, что и рабочие элементы;

• число элементов, включенных (в смысле надежности) последовательно, обозначено ;

• число цепочек, соединенных (в смысле надежности) параллельно, включающее в себя как рабочие, так и резервные цепочки, обозначено s;

• приняты следующие обозначения для схем включения резервных цепочек (рис. 1.1):

Рис. 1.1. Возможные схемы включения резервных цепочек

1.1. Система состоит из 8 равнонадежных элементов, соединенных в смысле надежности последовательно, при этом вероятность безотказной эксплуатации элемента после 8 лет эксплуатации составляет Р(8) = 0.80. Для повышения надежности эксплуатации система дополняется двумя параллельными цепочками, подключаемыми по схемам А или В. Определить вероятности безотказной эксплуатации нерезервированной системы, а также систем, резервированных по схемам А и В, при t = 8 лет. Для всех трех систем определить также среднее время их эксплуатации до первого отказа.

Решение

При последовательном соединении равнонадежных элементов, характеризующихся экспоненциальным законом надежности, функция надежности системы будет

Р(t) = 0.8⁸ = 0.168.

При подключении двух резервных цепочек по схемам А и В функции надежности резервированных систем запишутся в виде

Р_А(t) = 1 – = = 0.424,

P_B(t) = = = 0.938.

Среднее время эксплуатации системы до ее первого отказа будет

T_ср =

В рассматриваемой задаче

,

где – интенсивность отказа единичного элемента, определяемая из условия

Р₁(8) = = 0,8; = 0.0279 1/год.

Следовательно, = 1/(l_1×8) = 4.48 года.

Среднее время эксплуатации системы, резервированной по схеме А, определяется как

Среднее время эксплуатации системы, резервированной по схеме В, будет

(1.1)

В выражении (1) ( ) при (k + 1)s – 1 ³ i ³ ks, n = – 1.

В рассматриваемой схеме

= (1 + 1/2 + 1/3 – 7/4 – 7/5 – 7/6 + 21/7 + 21/8 + 21/9 – 35/10 – – 35/11 – 35/12 + 35/13 + 35/14 + 35/15 – 21/16 – 21/17 – 21/18 + 7/19 + + 7/20 + 7/21 – 1/22 – 1/23 – 1/24) = 21.82 года.

Из приведенного примера видно, что резервирование по схеме В увеличивает средний срок службы системы по сравнению с резервированием по схеме А в 2.66 раза.

1.2. Система состоит из 6 равнонадежных элементов, соединенных в смысле надежности последовательно. Функция надежности единичного элемента к моменту времени t = 10 ч составляет Р₁(t) = 0.80. Определить необходимое число резервных цепочек r, соединенных по схемам А и В, чтобы функция надежности резервированных систем к моменту времени t = 10 ч составляла Р(t) ³ 0.95. Определить также среднее время эксплуатации нерезервированной и резервированных систем.