1.3. Доверительные оценки при равноточных измерениях

Доверительные оценки истинного значения α измеряемой величины будем рассматривать в предположении, что случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения вероятностей и только симметричные доверительные оценки, которые имеют вид неравенств

или (3)

где - среднее арифметическое значение (1) или (2).

Величина δ определяется по заданной доверительной вероятности (надежности оценки) , обычно надежность задается в виде одного из трех уровней 0,95; 0,99 или 0,999.

а) Доверительная оценка при известной точности измерений.

Если заранее известна средняя квадратическая ошибка G (или другая связанная с ней характеристика точности измерений), то доверительная оценка (3) имеет вид

(4)

где n – число измерений, а значение t=t( ) определяется по заданной доверительной вероятности из условия

2Φ(t)= (5)

т .е. находится по таблице II.

Таким образом, здесь .

б) Доверительная оценка при неизвестной точности измерений.

Если средняя квадратическая ошибка заранее неизвестно, то вместо нее используют эмпирический стандарт (исправленное среднее квадратическое отклонение)

(6)

( где s^* - среднее квадратическое отклонение) который служит оценкой параметра G.

При этом доверительная оценка (3) принимает вид

(7)

и ли , (к = n-1),

г де множитель t( ; к) зависит уже не только от доверительной вероятности, но и от числа измерений n (к = n-1). Значения этого множителя для различных значений k ≥4 приводятся в таблице IV, составленной с помощью так называемого распределения Стьюдента, т.е. распределения вероятностей отношения : значения t=t(ss ;к) определяются так, что

..

Распределение Стьюдента зависит от одного параметра k, который называется числом степеней свободы; для рассматриваемой задачи число степеней свободы k связано с числом измерений n соотношением k=n-1.

Пример 1.1.

Даны результаты N=30 измерений:

хк	109	112,5	116	119,5	123	126,5	130	133,5	137
mк	1	2	3	5	7	6	3	2	1

где m_к – частота х_к

а) требуется оценить истинное значение измеряемой величины а с надежностью Р = 0,99, предполагая, что случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения вероятностей;

б) х_*=144 результат тридцать первого измерения исключен как «выскакивающее». С какой надежностью исключен из рассмотрения х_*?

Решение. а) Истинное значение измеряемой величины а равно математическому ожиданию случайной величины Х, принимающей конкретные значения х_к. Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном G ) при помощи доверительного интервала

п окрывающего а с заданной надежностью Р =0,99.

Вычислим среднее арифметическое и эмпирический стандарт s всех тридцати измерений. Вычисление этих величин значительно упрощается, если отсчет значений х_к вести от подходящим образом выбранного начала отсчета с и в подходящем масштабе. Практически это сводится к линейной замене

х_к= с +hu_к (к=1, 2, …, n).

При такой замене расчетные формулы принимают вид

, где

, где

Для контроля вычислений весь расчет повторяют с другими началом отчета с₁: результаты должны совпасть с точностью до возможных ошибок округления. Для проведения вычислений составляем таблицу: первые два столбца исходные данные; выбирая за начало отсчета с=123 и полагая h=3,5 подсчитываем значения

для третьего столбца. Сумма чисел четвертого и пятого столбцов дают все данные для расчета и s*. В последних трех столбцах проведены контрольные расчеты при другом начале отсчета с₁=126,5, что соответствует сдвигу u_к=v_к+1

Исходные данные		Расчет			Контроль
хк	mк	uк	mк uк	mк uк2	vк	mк vк	mк vк2
109	1	-4	-4	16	-5	-5	25
112,5	2	-3	-6	18	-4	-8	32
116	3	-2	-6	12	-3	-9	27
119,5	5	-1	-5	-	-2	-10	20
123	7	0	0	0	-1	-7	7
126,5	6	1	6	6	0	0	0
130	3	2	6	12	1	3	3
133,5	2	3	6	18	2	4	8
137	1	4	4	16	3	3	9
сумма	30	-	1	103	-	-29	131

С помощью полученных сумм подсчитываем средние:

, ,

Контрольные расчеты дают те же результаты:

Используя формулу s=s* находим:

Далее по таблице IV находим t(0,99; 29)=2,758 и

,

,

Ответ: Интервал (119,846; 126,487) покрывает истинное значение а измеряемой величины с надежностью 99%.

б) Вычислим отношение и сравниваем с критическими значениями t_n( ) из таблицы III. При данном числе n=30 приемлемых результатов это отношение t=3,166 оказалось между t₃₀(0,99)=2,802 и t₃₀(0,999)=3,719, следовательно с надежностью вывода, большей =0,99, можно считать, что «выскакивающее» значение х_*=144 содержит грубую ошибку.

Ответ: х_*=144 исключен из дальнейшего рассмотрения с надежностью более 99%.