21

Министерство образования Российской Федерации

Оренбургский государственный университет

Уфимский филиал

Кафедра «Математики, физики, химии и информатики»

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

Методические указания по выполнению контрольной работы

для студентов-заочников специальностей: 270100,270300,170600

Уфа-2005

Рецензент: Аблялимов С.Б.

Составитель: Янбулатов Д.М.

Содержание

		стр.
	ВВЕДЕНИЕ	4
1.	Оценки истинного значения измеряемой величины	4
1.1.	Понятие о типах оценок и их свойства	4
1.2.	Точечные оценки	4
1.3.	Доверительные оценки при равноточных измерениях	5
	Пример 1.1.	6
2.	Метод наименьших квадратов (МНК)	8
	Пример 2.1.	10
3.	Численное интегрирование	12
	Пример 3.1.	13
4.	Задания контрольной работы	15
	Задача 1	15
	Задача 2	15
	Задача 3	16
5.	Таблицы	17
6.	Контрольные вопросы	21
7.	Литература	21

Введение

Методические указания по курсу «Вычислительная математика и статистическая обработка данных» содержат решение тестовых примеров с предыдущим им необходимым теоретическим материалом, варианты контрольной работы, таблицы, используемые в статистической обработке данных; контрольные вопросы, список литературы.

1. Оценки истинного значения измеряемой величины

1.1. Понятие о типах оценок и их свойствах

Пусть даны результаты n независимых измерений некоторой величины. Предполагается, что эти результаты х₁, х₂, …, х_n свободны от грубых и систематических ошибок. Как известно из математической статистики оценить истинное значение а измеряемой величины – это значит:

а) указать такую функцию (х₁, х₂, …, х_n) от результатов измерений, которая дает достаточно хорошее приближение к значению а. Такая функция называется точечной оценкой или просто оценкой значения а;

б) указать границы интервала ( q -δ; q+δ), который с заданной вероятностью покрывает истинное значение а. Такая оценка называется доверительной оценкой, вероятность Р – доверительной вероятностью или надежностью оценки, интервал ( q -δ; q+δ) – доверительным интервалом, а его границы – доверительными границами.

Чтобы обеспечить достаточно хорошее приближение к истинному значению а , оценка q (х₁, х₂, …, х_n) должна (по возможности) быть несмещенной, состоятельной и эффективной.

1.2. Точечные оценки

Если все n измерений величины а произведены с одинаковой точностью (равноточные измерения), то в качестве истинного значения α измеряемой величины применяют среднее арифметическое значение результатов измерений:

(1)

Эта оценка является несмещенной и состоятельной. При дополнительном предположении, что случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения вероятностей, эта оценка является эффективной.

Если измерения не являются равноточными, но известны веса измерений, т.е. числа р₁, р₂, …, р_n обратно пропорциональные дисперсиям

о шибок ₁², ₂², …, _n²: р₁:р₂: …: р_n = 1/ ₁²:1/ ₂² : … :1/ _n², то в качестве оценки истинного значения а измеряемой величины применяют взвешенное среднее арифметическое значение

(2)

Эта оценка обладает теми же свойствами, что и оценка (1).

Например, часто обрабатываемые результаты х₁, х₂, …, х_n представляют собой не результаты непосредственных измерений, а среднее в n сериях измерений, произведенных с одной и той же точностью (т.е. с одинаковой средней квадратической ошибкой ), но при разных количествах измерений в каждой серии. В этом случае каждому значению х_к можно приписать в качестве веса количество измерений в соответствующей серии:

р_к=m_к (к=1, 2, …, n)

г де m_к – количество измерений в серии со средним значением х_к, обратно пропорциональны количествам измерений m_к в соответствующих сериях:

и, значит, 1/ ₁²:1/ ₂² : … :1/ _n² = m₁: m₂: …: m_n

Среднее арифметическое значение для интервального ряда данных является смещенной оценкой для а. Величина смещения имеет порядок h², если длина интервала h достаточно мала (в 2-3 раза меньше, чем ).