§ 36. Сложение однонаправленных колебаний
Сложением колебаний называется нахождение закона результирующих колебаний системы, участвующей одновременно в нескольких колебательных движениях.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Пусть уравнения складываемых колебаний имеют вид:
Для
нахождения закона результирующего
колебания воспользуемся методом
векторных диаграмм,
который заключается в том, что гармоническое
колебание можно изобразить графически
с помощью вращающегося вектора
(рис. 36.1). Из точки
,
взятой на оси
,
отложим вектор длины
,
образующий с осью угол
.
Если привести этот вектор во вращение
с угловой скоростью
,
то проекция конца этого вектора будет
перемещаться по оси
в пределах от +
до –
,
причем координата этой проекции будет
изменяться со временем по закону
(36.1)
Следовательно, проекция конца вектора на ось совершает гармоническое колебание. Т.о., гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а направление вектора образует с осью угол, равный начальной фазе колебания.
Представим
оба рассматриваемых колебания с помощью
векторов
и
.
По правилам сложения векторов найдем
результирующий вектор
.
Рис. 36.1
Из
рисунка видно, что
.
Если равномерно вращать систему векторов
и находить их проекции на ось, то эти
проекции будут совершать гармонические
колебания в соответствии с заданными
уравнениями. Взаимное расположение
векторов
и
остается неизменным, поэтому колебательное
движение проекции результирующего
вектора
также будет гармоническим. Из сказанного
следует, что суммарное движение является
гармоническим колебанием с заданной
частотой
.
По теореме косинусов
или
(36.2)
Начальную фазу результирующего колебания определим по тангенсу угла с помощью рисунка (36.1):
(36.3)
Соотношения (36.2) и (36.3) дают возможность найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания и составить его уравнение (36.1). Для определения результирующего колебания можно также использовать аналитическое сложение, т.е. произвести соответствующие тригонометрические преобразования.
Проанализируем выражение (36.2):
а)
Если разность фаз равна четному числу
,
т.е.
то колебания совпадают по фазе и усиливают друг друга. При этом
или
б) Если разность фаз равна нечетному числу , т.е.
то колебания ослабляют друг друга и результирующая амплитуда равна разности амплитуд складываемых колебаний
или
в)
Если
,
а амплитуды равны
,
то суммарная амплитуда
,
т.е. колебания взаимно гасят друг друга.
Заметим,
что если частоты колебаний
и
неодинаковы, то векторы
и
будут вращаться с различной скоростью.
При этом результирующий вектор
пульсирует по величине и вращается с
переменной скоростью. Следовательно,
результирующим движением будет в этом
случае не гармоническое колебание, а
некоторый сложный колебательный процесс.