Элементы теории деформаций
Характерной чертой движения сплошной среды является ее деформация, - изменение расстояния между отдельными точками среды.
Можно доказать, что удлинение (или укорочение) произвольно направленного единичного отрезка , проходящего через какую-либо точку М(х1, х2, х3) среды, вычисляется по формуле
(1.16)
где αi= — направляющие косинусы отрезка; εii — удлинения (укорочения) единичных отрезков, направленных параллельно координатным осям oxi; εij = εji(i≠j) — изменения первоначально прямых углов, образованных отрезками, направленными параллельно координатным осям oxi и охj.
Таким образом, деформация элементарного объема среды в окрестности точки М полностью определяется шестью величинами εij, которые называются компонентами симметричного тензора деформаций.
Для малых (по сравнению с единицей) деформаций верны следующие соотношения Коши:
в декартовой системе координат
(i,j=1, 2, 3), (1.17)
где ui — компоненты вектора перемещения в точке М.
В цилиндрической системе координат (r, Θ, z) при осевой симметрии
(1.18)
Компоненты вектора перемещений ur, uΘ, uz связаны с компонентами ui(i = 1, 2, 3) обычными соотношениями преобразования координат при повороте системы вокруг оси oz:
ur = u1cos Θ + u2sin Θ,
uΘ= - u1 sin Θ + u2cos Θ,
uz = u3.
Если иметь в виду связь между координатами
x1= r cos Θ,
x2 = r sin Θ,
x3 = z,
то доказать справедливость перехода от формул (1.17) к формулам (1.18), или наоборот, не представляет труда.
Так как деформация отрезка не зависит от выбора направлений координатных осей, то правая часть в формуле (1.16) инвариантна преобразованию системы координат, т. е.
(1.19)
где и — направляющие косинусы и компоненты деформаций в новой системе координат. Для вычисления через εij, достаточно в равенстве (1.19) выразить через αi и сравнить коэффициенты при одинаковых αi, αj.
В любой точке тела всегда существует по крайней мере одна тройка взаимно перпендикулярных направлений, таких, что деформация элемента в окрестности точки определяется только удлинением (укорочением) εii = εi вдоль этих направлений без изменения прямых углов (εij = 0, i≠j). Такие направления называются главными осями деформаций, а величины εi (i = 1, 2, 3) — главными удлинениями, которые могут быть найдены из следующего кубического уравнения:
где — символ Кронекера.
Ясно, что коэффициенты этого уравнения не зависят от выбора системы координат, т. е. они инвариантны. Первый коэффициент ε этого уравнения
(1.20)
и имеет простой геометрический смысл — относительное изменение объема в окрестности точки. Коэффициенты а и b геометрического смысла не имеют и поэтому не являются характеристикой деформаций.
Характеристикой искажения формы элемента сплошной среды служит инвариантная величина
называемая интенсивностью деформаций сдвига. Величины γ1= ε2 - ε3, γ2= ε3 – ε1, γ3= ε1 – ε2 называются главными сдвигами.
Иногда пользуются величиной εu = Г, называемой приведенной деформацией или интенсивностью деформаций.
Для характеристики деформационного состояния служит параметр Надаи
(1.22)
который изменяется в пределах от -1 (при чистом удлинении) до +1 (при частичном укорочении). В случае чистого сдвига με = 0. При всестороннем расширении (или сжатии) με смысла не имеет.
Часто удобно пользоваться следующим представлением компонент тензора деформаций:
, (1.23)
где eij —компоненты, характеризующие только деформации сдвига, называемые компонентами девиатора деформаций,
δij — символ Кронекера. Отсюда следует, что компоненты тензора деформации растяжения (сжатия) εii отличаются от соответствующих компонент девиатора еii на 1/3 объемной деформации, а компоненты деформации сдвига не отличаются, т. е.
Если известны компоненты деформации εij как функции декартовых координат хi, то для однозначного определения 3-х компонент ui вектора перемещений из 6-ти соотношений (1.17) необходимо и достаточно, чтобы функции εij удовлетворяли условиям совместимости (или неразрывности) деформаций Сен-Венана:
(1.24)
и т. д., всего 6 условий (остальные получаются из выписанных круговой заменой индексов 1→2→3→1).
Таким образом, условия совместимости (1.24) являются уравнениями, которые связывают компоненты εij тензора деформаций.
О СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ
Если скорость частиц сплошной среды , то за бесконечно малый промежуток времени dt среда испытывает бесконечно малую деформацию, определяемую перемещениями ui = vi dt (i = 1, 2, 3). Компоненты этих деформаций, вычисленные по формулам (1.17), имеют общий множитель dt, разделив на который, получим
(1.25)
где ξij —компоненты тензора скоростей деформаций. Величины ξii определяют скорости удлинения (укорочения) единичных отрезков в направлениях охi, ξij(i≠j) — угловые скорости изменения первоначально прямых углов, составленных единичными отрезками вдоль координатных осей.
Подобно формуле (1.16) скорость удлинения (укорочения) любого единичного отрезка вычисляется по формуле
Аналогично соотношениям (1.20) — (1.22) инвариантами скорости деформации являются:
а) скорость относительного объемного расширения (сжатия)
(1.26)
б) интенсивность скоростей деформации сдвига относительно главных осей
(1.27)
где , , — главные скорости сдвигов (относительно произвольной системы координат Н выражается формулой (1.21));
в) параметр Надаи .
Компоненты скорости деформации ξij, как и компоненты деформации εij, не могут быть произвольными. Они должны удовлетворять условиям совместимости, аналогичным условиям (1.24).
Подобно представлению (1.23) для компонент тензора {ξij} скоростей деформаций верно соотношение
(1.28)
где λij — компоненты, характеризующие только скорости деформации сдвига, называемые компонентами девиатора скорости деформаций.